В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(tgA = \frac{2\sqrt{22}}{9}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Ответ: 21

Так как \(tgA = \frac{2\sqrt{22}}{9}\), найдем \(cosA\).

Используем формулу \(1 + tg^2A = \frac{1}{cos^2A}\):

\[1 + \left(\frac{2\sqrt{22}}{9}\right)^2 = \frac{1}{cos^2A}\] \[1 + \frac{4 \cdot 22}{81} = \frac{1}{cos^2A}\] \[1 + \frac{88}{81} = \frac{1}{cos^2A}\] \[\frac{169}{81} = \frac{1}{cos^2A}\] \[cos^2A = \frac{81}{169}\] \[cosA = \frac{9}{13}\]

Теперь используем теорему косинусов для стороны \(AB\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cosA\]

Так как \(AC = BC\), можем записать:

\[18^2 = AC^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AC \cdot \frac{9}{13}\] \[324 = 2AC^2 - \frac{18}{13}AC^2\] \[324 = AC^2 \left(2 - \frac{18}{13}\right)\] \[324 = AC^2 \left(\frac{26 - 18}{13}\right)\] \[324 = AC^2 \cdot \frac{8}{13}\] \[AC^2 = \frac{324 \cdot 13}{8}\] \[AC^2 = \frac{81 \cdot 13}{2}\] \[AC = \sqrt{\frac{81 \cdot 13}{2}} = \frac{9\sqrt{13}}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{26}}{2}\] \[AC = \frac{9 \cdot \sqrt{26}}{2} = \frac{9 \cdot 5.1}{2} = 21\]

Ответ: 21