В треугольник вписана окружность. Вычисли неизвестные углы, если ∠OMN = 22° и ∠LNO = 24°. ∠COA = ? ∠BOA = ? ∠BOC = ?

Решение:

Дан треугольник M N L, в который вписана окружность с центром O. Точки касания окружности со сторонами треугольника обозначены как A, B, C. Известно, что \( \angle OMN = 22^{\circ} \) и \( \angle LNO = 24^{\circ} \).

1. Находим \( \angle COA \):

Рассмотрим треугольник \( \triangle OMA \). Так как OA — радиус, проведённый в точку касания A, то \( OA \perp MN \), следовательно \( \angle OAM = 90^{\circ} \).

В \( \triangle OMA \) имеем \( \angle OMA = \angle OMN = 22^{\circ} \) и \( \angle OAM = 90^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle OMA \) равна \( 180^{\circ} \):

\( \angle MOA + \angle OAM + \angle OMA = 180^{\circ} \)

\( \angle MOA + 90^{\circ} + 22^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle MOA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ} \).

Углы \( \angle MOA \) и \( \angle COA \) являются смежными, но это не так. Угол \( \angle COA \) — центральный угол, опирающийся на дугу AC. А \( \angle MOA \) — угол при вершине M, но не связан напрямую с \( \angle COA \).

Рассмотрим \( \triangle OAC \). OA и OC — радиусы, значит \( \triangle OAC \) — равнобедренный.

Угол \( \angle COA \) является центральным углом. Угол \( \angle CMA \) — вписанный. Однако, точки M, L, N не обязательно лежат на окружности. A, B, C — точки касания.

Важно: OA \( \perp \) MN, OB \( \perp \) NL, OC \( \perp \) LM.

В четырёхугольнике \( OAMC \): \( \angle OAM = 90^{\circ} \) (касательная перпендикулярна радиусу), \( \angle OCM = 90^{\circ} \) (касательная перпендикулярна радиусу). Сумма углов четырёхугольника \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOC + \angle OAM + \angle AMC + \angle OCM = 360^{\circ} \)

\( \angle AOC + 90^{\circ} + \angle AMC + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOC = 360^{\circ} - 180^{\circ} - \angle AMC = 180^{\circ} - \angle AMC \).

Аналогично для четырёхугольника \( OBNC \): \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle BNC \).

Для четырёхугольника \( OANB \): \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle ANB \).

Нам даны \( \angle OMN = 22^{\circ} \) и \( \angle LNO = 24^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle OMN \). \( \angle OMN = 22^{\circ} \). \( OM \) — биссектриса \( \angle NML \), если бы O была центром вписанной окружности. Но O — центр вписанной окружности, поэтому OA, OB, OC — радиусы, проведённые к точкам касания.

OM — отрезок, соединяющий вершину M с центром окружности. В \( \triangle OMA \) и \( \triangle OMC \) — OA = OC (радиусы), OM — общая сторона. \( \triangle OMA \) = \( \triangle OMC \) (по гипотенузе и катету, так как \( \angle OAM = \angle OCM = 90^{\circ} \)).

Следовательно, \( \angle OMA = \angle OMC = 22^{\circ} \). Таким образом, \( \angle NML = 2 \times 22^{\circ} = 44^{\circ} \).

Аналогично, рассмотрим \( \triangle ONL \). \( \angle LNO = 24^{\circ} \). ON — отрезок, соединяющий вершину N с центром окружности.

В \( \triangle ONB \) и \( \triangle ONC \) — OB = OC (радиусы), ON — общая сторона. \( \triangle ONB \) = \( \triangle ONC \) (по гипотенузе и катету, так как \( \angle OBN = \angle OCN = 90^{\circ} \)).

Следовательно, \( \angle ONL = \angle ONB = 24^{\circ} \). Таким образом, \( \angle MNL = 2 \times 24^{\circ} = 48^{\circ} \).

Теперь найдём третий угол треугольника \( \triangle MNL \):

\( \angle MLN = 180^{\circ} - \angle NML - \angle MNL = 180^{\circ} - 44^{\circ} - 48^{\circ} = 180^{\circ} - 92^{\circ} = 88^{\circ} \).

Теперь вернёмся к четырёхугольникам.

1. Находим \( \angle COA \):

В четырёхугольнике \( OAMC \): \( \angle OAM = 90^{\circ} \), \( \angle OCM = 90^{\circ} \), \( \angle AMC = 44^{\circ} \). Угол \( \angle AOC \) (он же \( \angle COA \)) равен:

\( \angle COA = 180^{\circ} - \angle NML = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ} \).

2. Находим \( \angle BOA \):

В четырёхугольнике \( OANB \): \( \angle OAN = 90^{\circ} \), \( \angle OBN = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle ANB \) — это угол \( \angle MNL \) = \( 48^{\circ} \).

\( \angle BOA = 180^{\circ} - \angle MNL = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ} \).

3. Находим \( \angle BOC \):

В четырёхугольнике \( OBCN \) (или \( OBCM \), в зависимости от обозначений, но правильно \( OCNB \)): \( \angle OCN = 90^{\circ} \), \( \angle OBN = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle CNB \) — это угол \( \angle MLN \) = \( 88^{\circ} \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle MLN = 180^{\circ} - 88^{\circ} = 92^{\circ} \).

Проверка: Сумма центральных углов \( \angle COA + \angle BOA + \angle BOC \) должна быть \( 360^{\circ} \).

\( 136^{\circ} + 132^{\circ} + 92^{\circ} = 360^{\circ} \). Расчёты верны.

Ответ:

• \( \angle COA = 136^{\circ} \)
• \( \angle BOA = 132^{\circ} \)
• \( \angle BOC = 92^{\circ} \)

Ответ: ∠COA = 136°, ∠BOA = 132°, ∠BOC = 92°.