В треугольник КМN вписана окружность. Она касается стороны КМ в точке L, которая делит сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины М. NP = 9 см. Найди стороны треугольника КМN, если его периметр равен 88 см.

Решение:

Пусть \( x \) — одна часть. Отрезки касательных к окружности равны. Поэтому \( ML = MP \), \( KL = KH \) и \( NL = NH \).

По условию \( ML : LK = 4 : 3 \), значит, \( ML = 4x \) и \( LK = 3x \). Следовательно, \( MP = 4x \) и \( KH = 3x \).

По условию \( NP = 9 \) см, значит, \( NH = 9 \) см.

Тогда стороны треугольника равны:

\( KM = KL + ML = 3x + 4x = 7x \)

\( MN = MP + NP = 4x + 9 \)

\( KN = KH + NH = 3x + 9 \)

Так как периметр треугольника равен 88 см, составим уравнение:

\( KM + MN + KN = 88 \)

\( 7x + (4x + 9) + (3x + 9) = 88 \)

\( 14x + 18 = 88 \)

\( 14x = 88 - 18 \)

\( 14x = 70 \)

\( x = \frac{70}{14} \)

\( x = 5 \)

Теперь найдем стороны треугольника:

\( KM = 7x = 7 \cdot 5 = 35 \) см

\( MN = 4x + 9 = 4 \cdot 5 + 9 = 20 + 9 = 29 \) см

\( KN = 3x + 9 = 3 \cdot 5 + 9 = 15 + 9 = 24 \) см

Проверка: \( 35 + 29 + 24 = 88 \) см.

Ответ: \( KM = 35 \) см, \( MN = 29 \) см, \( KN = 24 \) см.