В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон треугольника в точках К. М и №. Известно, что ВК = 3 см, АN = 6 см. Найди сторону ВС, если периметр треугольника АВС равен 32 см.

Решение:

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

• \( AK = AN = 6 \) см.
• \( BK = BM = 3 \) см.
• \( CM = CN = x \) см (обозначим неизвестную длину как \( x \)).

Стороны треугольника равны:

• \( AB = AK + KB = 6 + 3 = 9 \) см.
• \( AC = AN + NC = 6 + x \) см.
• \( BC = BM + MC = 3 + x \) см.

Периметр треугольника \( P_{ABC} \) равен 32 см. Периметр — это сумма длин всех сторон:

\[ AB + BC + AC = P_{ABC} \]

\[ 9 + (3 + x) + (6 + x) = 32 \]

Решим уравнение:

\[ 18 + 2x = 32 \]

\[ 2x = 32 - 18 \]

\[ 2x = 14 \]

\[ x = \frac{14}{2} \]

\[ x = 7 \) см.

Теперь найдём длину стороны ВС:

\[ BC = BM + MC = 3 + x = 3 + 7 = 10 \) см.

Ответ: BC = 10 см.