В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и R. Найдите АР, PB, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

Решение:

Пусть \( AP = AR = x \), \( PB = PQ = y \), \( QC = QR = z \).

По условию задачи:

• \( AB = AP + PB = x + y = 10 \) см
• \( BC = BQ + QC = y + z = 12 \) см
• \( CA = CR + RA = z + x = 5 \) см

Сложим все три уравнения:

\( (x + y) + (y + z) + (z + x) = 10 + 12 + 5 \)

\( 2x + 2y + 2z = 27 \)

\( 2(x + y + z) = 27 \)

\( x + y + z = \frac{27}{2} = 13.5 \) см

Теперь найдём каждую переменную:

• \( x = (x + y + z) - (y + z) = 13.5 - 12 = 1.5 \) см
• \( y = (x + y + z) - (z + x) = 13.5 - 5 = 8.5 \) см
• \( z = (x + y + z) - (x + y) = 13.5 - 10 = 3.5 \) см

Следовательно:

• \( AP = AR = x = 1.5 \) см
• \( PB = BQ = y = 8.5 \) см
• \( QC = CR = z = 3.5 \) см

Проверим:

• \( AB = AP + PB = 1.5 + 8.5 = 10 \) см
• \( BC = BQ + QC = 8.5 + 3.5 = 12 \) см
• \( CA = CR + RA = 3.5 + 1.5 = 5 \) см

Все условия задачи выполнены.

Ответ: АР = 1.5 см, PB = 8.5 см, BQ = 8.5 см, QC = 3.5 см, CR = 3.5 см, RA = 1.5 см.