В трапеции ABCD известно, что AD = 5, ВС = 1, а ее пло- щадь равна 12. Найдите пло- щадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапе- ции АВСD.

Ответ: 3

1. Шаг 1: Найдем высоту трапеции ABCD.

   Площадь трапеции вычисляется по формуле:

   \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]

   где a и b - основания трапеции, h - высота.

   Подставим известные значения:

   \[12 = \frac{5 + 1}{2} \cdot h\] \[12 = 3 \cdot h\] \[h = \frac{12}{3} = 4\]

   Высота трапеции ABCD равна 4.

2. Шаг 2: Найдем высоту трапеции BCNM.

   Так как MN - средняя линия, то она делит высоту трапеции ABCD пополам. Следовательно, высота трапеции BCNM равна половине высоты трапеции ABCD:

   \[h_{BCNM} = \frac{h}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

   Высота трапеции BCNM равна 2.

3. Шаг 3: Найдем длину средней линии MN.

   Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

   \[MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\]

   Длина средней линии MN равна 3.

4. Шаг 4: Найдем площадь трапеции BCNM.

   Площадь трапеции BCNM вычисляется по формуле:

   \[S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h_{BCNM}\]

   Подставим известные значения:

   \[S_{BCNM} = \frac{1 + 3}{2} \cdot 2\] \[S_{BCNM} = \frac{4}{2} \cdot 2\] \[S_{BCNM} = 2 \cdot 2 = 4\]

   Площадь трапеции BCNM равна 4.

5. Альтернативное решение.

   Площадь трапеции BCNM составляет половину площади исходной трапеции ABCD, так как MN - средняя линия.

   \[S_{BCNM} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

   Площадь трапеции ABCD разделена средней линией на две неравные части. Площадь трапеции ABNM больше площади трапеции BCNM.

   Средняя линия делит трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 5:7, то есть меньшая из них составляет 5/12 от площади исходной трапеции, а большая 7/12.

   В нашем случае 5/12 * 12 = 5, 7/12 * 12 = 7.

   Трапеция ABNM имеет площадь 7.

6. Площадь трапеции BCNM

   \[S_{BCNM} = \frac{5}{12} \cdot 12 = 5 \cdot \frac{12}{12}= 5 \cdot 1=5\]

Ответ: 5