В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL. а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная. б) Найдите cos ∠LKN, если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.

В условии есть противоречие: при требовании пункта а) отношение AP : PB не может быть 1 : 2.

Пояснение: в равнобедренной трапеции ось симметрии проходит через середины оснований. Биссектрисы углов при концах одного основания симметричны, поэтому их точка пересечения P лежит на этой оси. Прямая через P, параллельная основаниям, пересекает равные боковые стороны в точках A и B, симметричных относительно той же оси. Следовательно, AP = PB и AP : PB = 1 : 1.

Это противоречит указанному в пункте б) условию AP : PB = 1 : 2. Поэтому трапеции, удовлетворяющей всем данным задачи, не существует, и найти требуемый косинус невозможно. Вероятно, в условии опечатка в одном из данных пункта б); для вычисления нужно уточнить это отношение.