В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Обозначим \(\angle BAC=\angle CAD=\alpha\). Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle ACB=\angle CAD=\alpha\). Следовательно, в треугольнике \(ABC\) равны углы \(BAC\) и \(ACB\), поэтому \(AB=BC\).

Поскольку \(AC\perp CD\), треугольник \(ACD\) прямоугольный, причём \(\angle ADC=60^\circ\). Тогда \(\angle CAD=30^\circ\), а значит \(\angle BAC=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике \(ACD\) сторона \(CD\), лежащая напротив угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы \(AD\): \(CD=\frac{AD}{2}\).

Кроме того, \(\angle ACB=30^\circ\), поэтому в треугольнике \(ABC\) углы при \(A\) и \(C\) равны \(30^\circ\), а \(\angle ABC=120^\circ\). Из теоремы синусов или построения получается \(AB=BC=\frac{AC}{\sqrt3}\), тогда как в треугольнике \(ACD\) \(AC=\frac{\sqrt3}{2}AD\). Следовательно, \(AB=BC=\frac{AD}{2}\).

Таким образом, все три стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\) равны \(\frac{AD}{2}\). По условию периметр равен 20 см:

\[AD+3\cdot\frac{AD}{2}=20.\]

\[\frac{5AD}{2}=20,\qquad AD=8\text{ см}.\]

Ответ: 8 см.