В трапеции ABCD (рис. 2) BK || CD, AK = 12 см, BC = 8 см, P_ABK = 32 см. Найдите: a) среднюю линию трапеции; б) периметр трапеции.

Решение:

В трапеции ABCD проведена диагональ BK. Нам дано, что BK || CD. Это означает, что ABCD является параллелограммом, если бы AB || CD. Однако, ABCD - трапеция, где AB и CD - боковые стороны, а BC и AD - основания. Условие BK || CD означает, что BCDK - параллелограмм. Тогда BC = KD = 8 см и BK = CD.

Из условия P_ABK = 32 см, где P - периметр треугольника ABK. Периметр треугольника ABK равен сумме длин его сторон: AB + BK + AK = 32 см.

Нам дано AK = 12 см и BC = 8 см.

Подставим известные значения в формулу периметра треугольника:

AB + BK + 12 = 32

AB + BK = 32 - 12

AB + BK = 20 см.

Так как BCDK - параллелограмм, то BK = CD.

а) Средняя линия трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. В трапеции ABCD основаниями являются BC и AD. Однако, из чертежа видно, что BC и AD - это основания, а AB и CD - боковые стороны. Условие BK || CD означает, что BCDK - параллелограмм. В этом случае BC || KD и BK || CD. Тогда BC и AD являются основаниями. BC = 8 см. KD = 8 см.

AD = AK + KD. Но неизвестно, является ли K точкой на AD. Судя по чертежу, K лежит на AD. Тогда AD = AK + KD = 12 + 8 = 20 см.

Средняя линия трапеции MN = \( \frac{BC + AD}{2} \) = \( \frac{8 + 20}{2} \) = \( \frac{28}{2} \) = 14 см.

б) Периметр трапеции.

Периметр трапеции ABCD равен сумме длин всех её сторон: AB + BC + CD + AD.

Мы знаем, что BC = 8 см и AD = 20 см.

Из условия AB + BK = 20 см.

Так как BCDK - параллелограмм, то BK = CD.

Значит, AB + CD = 20 см.

Периметр трапеции ABCD = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + BC + AD = 20 + 8 + 20 = 48 см.

Ответ: а) средняя линия трапеции равна 14 см; б) периметр трапеции равен 48 см.