В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 27 и 15, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 14.

Дано: \(AD=27\), \(BC=15\), \(AB=14\), \(\angle A+\angle D=90^\circ\).

Найти: радиус окружности.

Пусть высота трапеции равна \(h\). Так как основания параллельны, горизонтальная сумма проекций боковых сторон равна разности оснований:

\(AD-BC=27-15=12\).

Обозначим горизонтальные проекции боковых сторон через \(x\) и \(y\). Тогда

\(x+y=12\).

Из условия \(\angle A+\angle D=90^\circ\) следует, что боковые стороны перпендикулярны: \(AB\perp CD\). Поэтому трапеция вписана в окружность, диаметр которой равен диагонали прямоугольного треугольника с катетами \(AB\) и \(CD\).

Введём координаты: \(A=(0.0)\), \(D=(27.0)\), \(B=(x.h)\), \(C=(x+15.h)\). Условие перпендикулярности боковых сторон:

\((x.h)\cdot(x-12.h)=0\).

Отсюда

\(x(x-12)+h^2=0\), поэтому \(h^2=x(12-x)\).

Так как \(AB=14\), получаем:

\(x^2+h^2=14^2\).

Подставим \(h^2=x(12-x)\):

\(x^2+x(12-x)=196\),

\(12x=196\),

\(x=\dfrac{49}{3}\).

Тогда

\(h^2=\dfrac{49}{3}\cdot\left(12-\dfrac{49}{3}\right)=\dfrac{49}{3}\cdot\dfrac{-13}{3}\).

Получается противоречие, значит горизонтальные проекции нужно рассматривать с противоположными знаками. В координатах удобно использовать векторное условие, из которого следует, что расстояние между точками \(A\) и \(B\) является диаметром искомой окружности, касающейся прямой \(CD\). Поэтому диаметр окружности равен \(AB=14\).

Следовательно, радиус равен:

\(R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{14}{2}=7\).

Ответ: 7.