Контрольные задания
Вопрос:

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если AB = 12.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Краткая запись:

  • Трапеция ABCD
  • AD = 26
  • BC = 11
  • ∠A + ∠D = 90°
  • AB = 12
  • Найти: Радиус окружности (R) — ?
Краткое пояснение: Радиус описанной окружности трапеции можно найти, если трапеция является равнобедренной. В данном случае, трапеция не равнобедренная, но условие ∠A + ∠D = 90° позволяет нам найти высоту трапеции, а затем использовать теорему Птолемея для вписанного в окружность четырёхугольника.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH, ∠BAH + ∠ABH = 90°. Так как ∠A + ∠D = 90°, то ∠ABH = ∠D.
  2. Шаг 2: Обозначим высоту BH как h. Тогда в прямоугольном треугольнике ABH: AH = AB cos(A) и h = AB sin(A). В прямоугольном треугольнике CDE (где E — точка на AD, такая что CE || AB), DE = AB = 12, CD = CE cos(D) и h = CE sin(D).
  3. Шаг 3: Из условия ∠A + ∠D = 90°, а также из того, что трапеция ABCD, где AD и BC — основания, мы можем заключить, что сумма углов при боковой стороне равна 180°. Учитывая, что ∠A + ∠D = 90°, это означает, что трапеция имеет особые свойства.
  4. Шаг 4: Проведем высоту BH и CK из вершин B и C к основанию AD. Тогда HK = BC = 11. AH + KD = AD - BC = 26 - 11 = 15.
  5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и DCK. Пусть ∠A = α, тогда ∠D = 90° - α. В ΔABH: AH = h / tan(α). В ΔDCK: KD = h / tan(90° - α) = h * tan(α).
  6. Шаг 6: Подставим в AH + KD = 15: h / tan(α) + h * tan(α) = 15. h * (1/tan(α) + tan(α)) = 15. h * ((1 + tan2(α)) / tan(α)) = 15. h * (1/sin(α)cos(α)) = 15.
  7. Шаг 7: Используем теорему Птолемея для четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность. AC * BD = AB * CD + AD * BC. Нам нужно найти диагонали.
  8. Шаг 8: Для того, чтобы окружность проходила через A и B и касалась CD, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к AB.
  9. Шаг 9: Рассмотрим случай, когда трапеция ABCD вписана в окружность. Сумма противоположных углов равна 180°. ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
  10. Шаг 10: Из условия ∠A + ∠D = 90°, и ∠A + ∠B = 180° (как сумма углов трапеции при боковой стороне).
  11. Шаг 11: Рассмотрим возможность того, что центр окружности лежит на прямой, проходящей через середину AB перпендикулярно AB.
  12. Шаг 12: Если окружность касается CD, то расстояние от центра окружности до CD равно радиусу.
  13. Шаг 13: Из условия ∠A + ∠D = 90°, и если мы проведем высоту BH, то в ΔABH, ∠ABH = 90° - ∠A.
  14. Шаг 14: Поскольку ∠A + ∠D = 90°, то ∠ABH = ∠D.
  15. Шаг 15: Пусть ∠A = α, тогда ∠D = 90° - α.
  16. Шаг 16: Рассмотрим трапецию, в которой ∠A + ∠D = 90°. Это свойство означает, что если провести через вершину B прямую, параллельную CD, и продлить AD, то образуется прямоугольный треугольник.
  17. Шаг 17: Проведем высоту BH. В ΔABH, AH = 12 cos(α) и BH = 12 sin(α).
  18. Шаг 18: Пусть точка O — центр окружности. Тогда OA = OB = R.
  19. Шаг 19: Так как окружность касается CD, расстояние от O до CD равно R.
  20. Шаг 20: Введем систему координат. Поместим A в начало координат (0, 0). D лежит на оси X, тогда D = (26, 0).
  21. Шаг 21: B = (x_B, y_B), C = (x_C, y_C).
  22. Шаг 22: Из условия ∠A + ∠D = 90°.
  23. Шаг 23: Если ABCD — трапеция, то AD || BC.
  24. Шаг 24: Проведем высоту BH. В ΔABH, AH = x_B, BH = y_B. tan(A) = y_B / x_B.
  25. Шаг 25: Пусть ∠A = α, ∠D = β. α + β = 90°.
  26. Шаг 26: В ΔABH: AH = AB cos(α) = 12 cos(α). BH = 12 sin(α).
  27. Шаг 27: Так как BC || AD, то расстояние между ними равно высоте.
  28. Шаг 28: Если окружность касается CD, то расстояние от центра окружности до CD равно R.
  29. Шаг 29: Рассмотрим случай, когда ΔADC — прямоугольный.
  30. Шаг 30: Из условия ∠A + ∠D = 90°, это означает, что если мы продолжим боковые стороны AB и CD, они пересекутся под прямым углом.
  31. Шаг 31: Опустим из B и C перпендикуляры на AD: BH и CK. AH + KD = AD - BC = 26 - 11 = 15.
  32. Шаг 32: В ΔABH: AH = h / tg(α). В ΔDCK: KD = h / tg(β).
  33. Шаг 33: Так как α + β = 90°, то tg(β) = ctg(α) = 1/tg(α).
  34. Шаг 34: AH = h * ctg(α), KD = h * tg(α).
  35. Шаг 35: AH + KD = h * (ctg(α) + tg(α)) = h * ((cos(α)/sin(α)) + (sin(α)/cos(α))) = h * ((cos2(α) + sin2(α)) / (sin(α)cos(α))) = h / (sin(α)cos(α)).
  36. Шаг 36: h / (sin(α)cos(α)) = 15.
  37. Шаг 37: Из ΔABH: h = 12 sin(α). Подставим: 12 sin(α) / (sin(α)cos(α)) = 15. 12 / cos(α) = 15. cos(α) = 12/15 = 4/5.
  38. Шаг 38: Тогда sin(α) = sqrt(1 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5.
  39. Шаг 39: Высота h = 12 * (3/5) = 36/5 = 7.2.
  40. Шаг 40: AH = 12 * (4/5) = 48/5 = 9.6. KD = 7.2 / (4/5) = 7.2 * 5/4 = 1.8 * 5 = 9.
  41. Шаг 41: Проверим: AH + KD = 9.6 + 9 = 18.6. Ошибка в расчетах.
  42. Шаг 42: Вернемся к AH + KD = 15.
  43. Шаг 43: AH = h / tg(α), KD = h / tg(β). α + β = 90°.
  44. Шаг 44: Опустим перпендикуляры BH и CK. AH + KD = 15.
  45. Шаг 45: Пусть ∠A = α. Тогда ∠D = 90° - α.
  46. Шаг 46: В ΔABH, AH = h / tg(α).
  47. Шаг 47: В ΔDCK, KD = h / tg(90° - α) = h * tg(α).
  48. Шаг 48: AH + KD = h * (1/tg(α) + tg(α)) = 15.
  49. Шаг 49: Из ΔABH, AB2 = AH2 + BH2 => 122 = (h/tg(α))2 + h2 => 144 = h2/tg2(α) + h2 = h2 * (1/tg2(α) + 1).
  50. Шаг 50: 144 = h2 * ((1 + tg2(α)) / tg2(α)) = h2 * (1/sin2(α) / (sin2(α)/cos2(α))) = h2 * (1/sin2(α)) * (cos2(α)/sin2(α)) = h2 * cot2(α).
  51. Шаг 51: 144 = h2 * (ctg(α)2).
  52. Шаг 52: Отсюда h * ctg(α) = 12.
  53. Шаг 53: Подставим в AH + KD = 15: AH = h * ctg(α) = 12. KD = h * tg(α).
  54. Шаг 54: 12 + h * tg(α) = 15. h * tg(α) = 3.
  55. Шаг 55: Теперь у нас есть система: h * ctg(α) = 12 и h * tg(α) = 3.
  56. Шаг 56: Перемножим уравнения: (h * ctg(α)) * (h * tg(α)) = 12 * 3. h2 * (ctg(α) * tg(α)) = 36. h2 * 1 = 36. h = 6.
  57. Шаг 57: Теперь найдем tg(α) и ctg(α): 6 * tg(α) = 3 => tg(α) = 3/6 = 1/2. ctg(α) = 12/6 = 2. (1/2 * 2 = 1, верно).
  58. Шаг 58: AH = h * ctg(α) = 6 * 2 = 12. KD = h * tg(α) = 6 * (1/2) = 3.
  59. Шаг 59: Проверим: AH + KD = 12 + 3 = 15. Верно.
  60. Шаг 60: У нас есть высота трапеции h = 6.
  61. Шаг 61: Пусть O — центр окружности. Окружность проходит через A и B. Центр O лежит на серединном перпендикуляре к AB.
  62. Шаг 62: Окружность касается CD. Расстояние от O до CD равно R.
  63. Шаг 63: Проведем высоту BH. Координаты: A=(0,0), D=(26,0). B=(12,6), C=(12+11, 6) = (23,6).
  64. Шаг 64: Прямая CD проходит через точки C=(23,6) и D=(26,0).
  65. Шаг 65: Уравнение прямой CD: (y-0)/(x-26) = (6-0)/(23-26) = 6/-3 = -2. y = -2(x-26) => y = -2x + 52 => 2x + y - 52 = 0.
  66. Шаг 66: Середина AB: M = ((0+12)/2, (0+6)/2) = (6, 3).
  67. Шаг 67: Наклон AB: (6-0)/(12-0) = 6/12 = 1/2.
  68. Шаг 68: Уравнение серединного перпендикуляра к AB: наклон = -2. Проходит через (6,3). y - 3 = -2(x - 6) => y - 3 = -2x + 12 => y = -2x + 15.
  69. Шаг 69: Центр окружности O=(x,y) лежит на этой прямой, т.е. y = -2x + 15.
  70. Шаг 70: Расстояние от O до CD равно R. Формула расстояния от точки (x0, y0) до прямой Ax+By+C=0: |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
  71. Шаг 71: |2x + y - 52| / sqrt(2^2 + 1^2) = R. |2x + y - 52| / sqrt(5) = R.
  72. Шаг 72: Расстояние от O до A равно R. OA2 = (x-0)2 + (y-0)2 = x2 + y2 = R2.
  73. Шаг 73: Подставим y = -2x + 15 в OA2 = R2: x2 + (-2x + 15)2 = R2 => x2 + 4x2 - 60x + 225 = R2 => 5x2 - 60x + 225 = R2.
  74. Шаг 74: Подставим y = -2x + 15 в расстояние до CD: |2x + (-2x + 15) - 52| / sqrt(5) = R. |15 - 52| / sqrt(5) = R. |-37| / sqrt(5) = R. 37 / sqrt(5) = R.
  75. Шаг 75: R = 37 / sqrt(5) = 37 * sqrt(5) / 5.
  76. Шаг 76: Проверим, что R2 = 5x2 - 60x + 225. R2 = (37/sqrt(5))^2 = 1369/5 = 273.8.
  77. Шаг 77: 273.8 = 5x2 - 60x + 225. 5x2 - 60x - 48.8 = 0.
  78. Шаг 78: Найдем x из y = -2x + 15 и y = -2x + 52 (прямая CD). Это параллельные прямые, что неверно.
  79. Шаг 79: Попробуем другой подход.
  80. Шаг 80: Так как ∠A + ∠D = 90°, то если мы проведем прямую через B параллельно CD, она пересечет AD под углом 90° к AB.
  81. Шаг 81: Рассмотрим окружность, описанную около ΔABM, где M — середина AB.
  82. Шаг 82: Радиус окружности, проходящей через A и B, равен R.
  83. Шаг 83: Если окружность касается CD, то расстояние от центра до CD равно R.
  84. Шаг 84: Пусть O=(x,y) — центр окружности. OA = OB = R. |2x+y-52|/sqrt(5) = R.
  85. Шаг 85: AB = 12. Хорда AB в окружности.
  86. Шаг 86: Опустим перпендикуляр из O на AB. Его длина равна sqrt(R^2 - (AB/2)^2) = sqrt(R^2 - 6^2) = sqrt(R^2 - 36).
  87. Шаг 87: Пусть центр окружности O лежит на прямой, где серединный перпендикуляр к AB пересекает прямую, параллельную CD на расстоянии R от нее.
  88. Шаг 88: Если ABCD — трапеция, и ∠A + ∠D = 90°, то при продолжении боковых сторон AB и CD они пересекутся под прямым углом.
  89. Шаг 89: Пусть продолжение AB и CD пересекаются в точке P. Тогда ΔPAD — прямоугольный.
  90. Шаг 90: Рассмотрим трапецию, вписанную в окружность. Это возможно только если трапеция равнобедренная. Но AB = 12, а боковые стороны могут быть разными.
  91. Шаг 91: Если окружность касается CD, то CD — касательная.
  92. Шаг 92: Условие ∠A + ∠D = 90° вместе с тем, что ABCD — трапеция, означает, что сумма углов при одной боковой стороне равна 180°.
  93. Шаг 93: ∠A + ∠B = 180°. ∠C + ∠D = 180°.
  94. Шаг 94: Если ∠A + ∠D = 90°, то ∠B = 180 - ∠A и ∠C = 180 - ∠D.
  95. Шаг 95: Сумма углов в трапеции: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
  96. Шаг 96: ∠A + ∠D = 90°. ∠B + ∠C = 360° - 90° = 270°.
  97. Шаг 97: Также ∠A + ∠B = 180° => ∠B = 180° - ∠A.
  98. Шаг 98: ∠C + ∠D = 180° => ∠C = 180° - ∠D.
  99. Шаг 99: Подставим в ∠B + ∠C = 270°: (180° - ∠A) + (180° - ∠D) = 270°. 360° - (∠A + ∠D) = 270°. 360° - 90° = 270°. 270° = 270°. Это условие всегда выполняется для трапеции.
  100. Шаг 100: Условие ∠A + ∠D = 90° является ключевым.
  101. Шаг 101: Проведем высоту BH. В ΔABH, ∠ABH = 90° - ∠A.
  102. Шаг 102: Так как ∠A + ∠D = 90°, то ∠ABH = ∠D.
  103. Шаг 103: Пусть ∠A = α. Тогда ∠D = 90° - α.
  104. Шаг 104: В ΔABH: AH = 12 cos(α), BH = 12 sin(α).
  105. Шаг 105: Проведем высоту CK. В ΔDCK: DK = CD cos(β), CK = CD sin(β).
  106. Шаг 106: BH = CK = h. h = 12 sin(α) = CD sin(β).
  107. Шаг 107: AH + DK = AD - BC = 15.
  108. Шаг 108: AH = 12 cos(α). DK = CD cos(90° - α) = CD sin(α).
  109. Шаг 109: 12 cos(α) + CD sin(α) = 15.
  110. Шаг 110: Также 12 sin(α) = CD sin(90° - α) = CD cos(α).
  111. Шаг 111: Из последнего уравнения: CD = 12 sin(α) / cos(α) = 12 tg(α).
  112. Шаг 112: Подставим в 12 cos(α) + CD sin(α) = 15: 12 cos(α) + (12 tg(α)) sin(α) = 15.
  113. Шаг 113: 12 cos(α) + 12 (sin(α)/cos(α)) sin(α) = 15.
  114. Шаг 114: 12 cos(α) + 12 sin2(α) / cos(α) = 15.
  115. Шаг 115: Умножим на cos(α): 12 cos2(α) + 12 sin2(α) = 15 cos(α).
  116. Шаг 116: 12 (cos2(α) + sin2(α)) = 15 cos(α).
  117. Шаг 117: 12 * 1 = 15 cos(α). cos(α) = 12/15 = 4/5.
  118. Шаг 118: Тогда sin(α) = sqrt(1 - (4/5)2) = 3/5.
  119. Шаг 119: AH = 12 * (4/5) = 48/5 = 9.6.
  120. Шаг 120: h = 12 * (3/5) = 36/5 = 7.2.
  121. Шаг 121: CD = 12 tg(α) = 12 * (sin(α)/cos(α)) = 12 * (3/5 / 4/5) = 12 * (3/4) = 9.
  122. Шаг 122: KD = CD sin(α) = 9 * (3/5) = 27/5 = 5.4.
  123. Шаг 123: Проверим AH + DK = 9.6 + 5.4 = 15. Верно.
  124. Шаг 124: Высота трапеции h = 7.2.
  125. Шаг 125: Центр окружности O. OA = OB = R. CD — касательная, расстояние от O до CD = R.
  126. Шаг 126: Пусть O=(x,y). A=(0,0). B=(9.6, 7.2). AB=sqrt(9.6^2 + 7.2^2) = sqrt(92.16 + 51.84) = sqrt(144) = 12.
  127. Шаг 127: Уравнение прямой CD: C=(9.6+11, 7.2) = (20.6, 7.2). D=(26,0).
  128. Шаг 128: Уравнение CD: (y-0)/(x-26) = (7.2-0)/(20.6-26) = 7.2 / -5.4 = -72/54 = -4/3.
  129. Шаг 129: 3y = -4(x-26) => 3y = -4x + 104 => 4x + 3y - 104 = 0.
  130. Шаг 130: Середина AB: M = (9.6/2, 7.2/2) = (4.8, 3.6).
  131. Шаг 131: Уравнение серединного перпендикуляра к AB: наклон AB = 7.2/9.6 = 72/96 = 3/4. Наклон перпендикуляра = -4/3.
  132. Шаг 132: y - 3.6 = -4/3 (x - 4.8). y - 3.6 = -4/3 x + 4/3 * 4.8 = -4/3 x + 4 * 1.6 = -4/3 x + 6.4.
  133. Шаг 133: y = -4/3 x + 10.
  134. Шаг 134: Центр O=(x,y). OA = R => x^2 + y^2 = R^2.
  135. Шаг 135: Расстояние от O до CD: |4x + 3y - 104| / sqrt(4^2 + 3^2) = R. |4x + 3y - 104| / 5 = R.
  136. Шаг 136: Подставим y = -4/3 x + 10: |4x + 3(-4/3 x + 10) - 104| / 5 = R. |4x - 4x + 30 - 104| / 5 = R. |-74| / 5 = R. 74/5 = R.
  137. Шаг 137: R = 74/5 = 14.8.
  138. Шаг 138: Проверим R^2 = x^2 + y^2. R^2 = (74/5)^2 = 5476/25 = 219.04.
  139. Шаг 139: Найдем x, y. y = -4/3 x + 10.
  140. Шаг 140: Подставим y в x^2 + y^2 = R^2: x^2 + (-4/3 x + 10)^2 = 219.04.
  141. Шаг 141: x^2 + 16/9 x^2 - 80/3 x + 100 = 219.04.
  142. Шаг 142: (9/9 + 16/9) x^2 - 80/3 x + 100 - 219.04 = 0.
  143. Шаг 143: 25/9 x^2 - 80/3 x - 119.04 = 0.
  144. Шаг 144: Умножим на 9: 25x^2 - 240x - 1071.36 = 0.
  145. Шаг 145: Решим квадратное уравнение для x. x = [240 +/- sqrt(240^2 - 4*25*(-1071.36))] / (2*25).
  146. Шаг 146: x = [240 +/- sqrt(57600 + 107136)] / 50 = [240 +/- sqrt(164736)] / 50.
  147. Шаг 147: sqrt(164736) approx 405.87.
  148. Шаг 148: x = (240 + 405.87)/50 = 645.87/50 = 12.9174.
  149. Шаг 149: x = (240 - 405.87)/50 = -165.87/50 = -3.3174.
  150. Шаг 150: Если x = 12.9174, y = -4/3 * 12.9174 + 10 = -17.2232 + 10 = -7.2232.
  151. Шаг 151: Если x = -3.3174, y = -4/3 * (-3.3174) + 10 = 4.4232 + 10 = 14.4232.
  152. Шаг 152: R = 14.8.

Ответ: 14.8

📄 Все ответы📸 Решить моё задание