Контрольные задания
Вопрос:

В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC, диагональ BD равна 12√3 см, АС равна 12 см, BD ⊥ АС. Найдите углы, которые образуют с основанием диагонали трапеции.

Фото заданияОткрыть фото

Ответ:

Решение:

Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. По условию, \( BD \perp AC \), значит, \( \angle AOB = 90^{\circ} \).

Диагонали AC = 12 см, BD = 12√3 см.

По условию, AD = 2BC. Так как диагонали пересекаются, то отношение оснований равно отношению отрезков диагоналей, образующихся при пересечении: \( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2} \).

Из \( \frac{AO}{OC} = \frac{1}{2} \) и \( AO + OC = AC = 12 \), получаем:

  • \( AO = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \) см.
  • \( OC = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \) см.

Из \( \frac{BO}{OD} = \frac{1}{2} \) и \( BO + OD = BD = 12\sqrt{3} \), получаем:

  • \( BO = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) см.
  • \( OD = \frac{2}{3} BD = \frac{2}{3} \cdot 12\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

  1. Найдем тангенс угла OAB (угол, который образует диагональ AC с основанием AD): \( \tan(\angle OAB) = \frac{BO}{AO} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \).
  2. Зная, что \( \tan(\angle OAB) = \sqrt{3} \), находим \( \angle OAB \): \( \angle OAB = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC:

  1. Найдем тангенс угла OBC (угол, который образует диагональ BD с основанием BC): \( \tan(\angle OBC) = \frac{OC}{BO} = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
  2. Зная, что \( \tan(\angle OBC) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \), находим \( \angle OBC \): \( \angle OBC = \arctan(\frac{2\sqrt{3}}{3}) \approx 49.1^{\circ} \).

Угол, который образует диагональ BD с основанием AD (угол ADB), равен углу OBC, так как AD || BC (накрест лежащие углы):

\( \angle ADB = \angle OBC \)

Угол, который образует диагональ AC с основанием AD (угол CAD), равен углу ACB, так как AD || BC (накрест лежащие углы):

\( \angle CAD = \angle ACB \)

В прямоугольном треугольнике BOC:

  1. \( \tan(\angle OCB) = \frac{BO}{OC} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  2. \( \angle OCB = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 40.9^{\circ} \).
  3. Так как AD || BC, то \( \angle CAD = \angle OCB \approx 40.9^{\circ} \).

Углы, которые образуют диагонали с основанием AD:

  • Диагональ AC: \( \angle OAB = 60^{\circ} \).
  • Диагональ BD: \( \angle ODA \). В прямоугольном треугольнике AOD: \( \tan(\angle ODA) = \frac{AO}{OD} = \frac{4}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \). \( \angle ODA = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{6}) \approx 16.1^{\circ} \).

Углы, которые образуют диагонали с основанием BC:

  • Диагональ AC: \( \angle OCB \approx 40.9^{\circ} \).
  • Диагональ BD: \( \angle OBC \approx 49.1^{\circ} \).

Ответ: Диагональ AC образует с основанием AD угол 60°. Диагональ BD образует с основанием AD угол примерно 16.1°.

📄 Все решения с фото📸 Фото ГДЗ

Похожие