В торговом павильоне стоят 18 внешне одинаковых коробок, некоторые из которых заполнены грушами, другие — яблоками, а третьи — сливами. Коробка с грушами весит 3 кг, коробка с яблоками весит 4 кг, а коробка со сливами — 5 кг. Какое наибольшее число из этих коробок может быть заполнено сливами, если общий вес всех коробок составляет 80 кг?

Пусть x - количество коробок со сливами, y - количество коробок с грушами, z - количество коробок с яблоками. Тогда мы имеем следующие условия: 1. Общее количество коробок: $$x + y + z = 18$$ 2. Общий вес всех коробок: $$5x + 3y + 4z = 80$$ Наша задача - найти максимальное значение x. Выразим y через x и z из первого уравнения: $$y = 18 - x - z$$. Подставим это во второе уравнение: $$5x + 3(18 - x - z) + 4z = 80$$ $$5x + 54 - 3x - 3z + 4z = 80$$ $$2x + z = 26$$ $$z = 26 - 2x$$ Так как x, y, z - целые неотрицательные числа (количество коробок), то должны выполняться условия: $$x \ge 0$$, $$y \ge 0$$, $$z \ge 0$$. Подставим выражение для z в уравнение для y: $$y = 18 - x - (26 - 2x) = 18 - x - 26 + 2x = x - 8$$ Так как $$y \ge 0$$, то $$x - 8 \ge 0$$, следовательно, $$x \ge 8$$. Также, так как $$z \ge 0$$, то $$26 - 2x \ge 0$$, следовательно, $$2x \le 26$$, и $$x \le 13$$. Таким образом, $$8 \le x \le 13$$. Нужно найти максимальное значение x, то есть проверить x = 13. Если $$x = 13$$, то $$z = 26 - 2 * 13 = 0$$, и $$y = 13 - 8 = 5$$. Проверим: $$13 + 5 + 0 = 18$$ (общее количество коробок) $$5 * 13 + 3 * 5 + 4 * 0 = 65 + 15 + 0 = 80$$ (общий вес) Таким образом, наибольшее число коробок со сливами равно 13. Ответ: 13