4. В тетраэдре ABCD на ребре АВ выбрана точка М так, что АМ: МВ = 1:4. Плоскость в проходит через точку М и параллельна плоскости грани ACD. Найдите площадь сечения, если площадь грани ACD равна 125. Ответ:

Ответ: 5

Пусть плоскость β пересекает ребро BC в точке N, а ребро BD в точке K. Так как плоскость β параллельна плоскости ACD, то MN || AC и MK || AD. Рассмотрим треугольник ABC. В нем MN || AC. По теореме о пропорциональных отрезках: \[\frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}\] По условию AM : MB = 1 : 4, значит, BM : BA = 4 : (1 + 4) = 4 : 5. Следовательно: \[\frac{BN}{BC} = \frac{4}{5}\] Рассмотрим треугольник ABD. В нем MK || AD. Аналогично: \[\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BD} = \frac{4}{5}\] Таким образом, NK || CD и \(\frac{BK}{BD} = \frac{BN}{BC} = \frac{4}{5}\). Следовательно, треугольник MNK подобен треугольнику ACD с коэффициентом подобия k = \(\frac{4}{5}\). Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{MNK}}{S_{ACD}} = k^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\] Площадь грани ACD равна 125. Найдем площадь сечения MNK: \[S_{MNK} = S_{ACD} \cdot \frac{16}{25} = 125 \cdot \frac{16}{25} = 5 \cdot 16 = 80\]

Ответ: 80