В связи с выпуском новой модели телефона старую модель производили ограниченное число месяцев, ежемесячно уменьшая количество выпущенных телефонов на одно и то же число. Известно, что за второй и предпоследний месяцы в сумме произвели 34000 телефонов старой модели. Сколько месяцев продолжали выпускать старую модель телефона, если всего за данный период выпустили 255000 таких телефонов?

Решение:

Пусть \( n \) — количество месяцев, в течение которых выпускали старую модель телефона.

Количество выпущенных телефонов в каждый месяц образует арифметическую прогрессию. Пусть \( a_1 \) — количество телефонов, выпущенных в первый месяц, и \( d \) — ежемесячное уменьшение количества телефонов. Так как количество телефонов уменьшается, \( d < 0 \).

Количество телефонов, выпущенных в \( k \)-й месяц, равно \( a_k = a_1 + (k-1)d \).

Сумма телефонов, выпущенных за \( n \) месяцев, равна \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \), где \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Нам дано, что за второй и предпоследний месяцы в сумме произвели 34000 телефонов. Предпоследний месяц — это \( (n-1) \)-й месяц.

\( a_2 + a_{n-1} = 34000 \)

\( (a_1 + d) + (a_1 + (n-1-1)d) = 34000 \)

\( (a_1 + d) + (a_1 + (n-2)d) = 34000 \)

\( 2a_1 + (1 + n - 2)d = 34000 \)

\( 2a_1 + (n-1)d = 34000 \)

Мы знаем, что \( a_1 + a_n = a_1 + (a_1 + (n-1)d) = 2a_1 + (n-1)d \). Следовательно, \( a_1 + a_n = 34000 \).

Теперь используем формулу суммы: \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \).

Нам дано, что \( S_n = 255000 \).

\[ 255000 = \frac{n}{2}(34000) \]

Умножим обе части на 2:

\[ 510000 = n · 34000 \]

Найдём \( n \):

\[ n = \frac{510000}{34000} \]

\( n = \frac{510}{34} \)

Разделим 510 на 34:

\[ n = 15 \]

Значит, старую модель телефона продолжали выпускать 15 месяцев.

Ответ: 15 месяцев.