В сосуде с водой, не касаясь стенок и дна, плавает деревянный (сосновый) кубик с длиной ребра 20 см. Кубик вынимают из воды, заменяют половину его объёма на материал, плотность которого в 6 раз больше плотности древесины, и помещают получившийся составной кубик обратно в сосуд с водой. На сколько увеличится модуль силы Архимеда, действующей на кубик? Ответ выразите в СИ и округлите до целого числа. Плотность сосны — 400 кг/м³. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

Ответ: 2

Решение:

Определим объем кубика:

\[V = a^3 = (0.2 \,\text{м})^3 = 0.008 \,\text{м}^3\]

Найдем половину объема кубика:

\[V_{1} = \frac{V}{2} = \frac{0.008 \,\text{м}^3}{2} = 0.004 \,\text{м}^3\]

Определим массу вырезанной части кубика:

\[m_{1} = \rho_{ \text{сосны}} \cdot V_{1} = 400 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.004 \,\text{м}^3 = 1.6 \,\text{кг}\]

Найдем массу вставленной части кубика:

\[m_{2} = 6 \cdot \rho_{ \text{сосны}} \cdot V_{1} = 6 \cdot 400 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.004 \,\text{м}^3 = 9.6 \,\text{кг}\]

Определим изменение массы кубика:

\[\Delta m = m_{2} - m_{1} = 9.6 \,\text{кг} - 1.6 \,\text{кг} = 8 \,\text{кг}\]

Рассчитаем, на сколько увеличится модуль силы Архимеда:

\[\Delta F_{A} = \Delta m \cdot g = 8 \,\text{кг} \cdot 10 \,\frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 80 \,\text{Н}\]

Определим, какой объем воды вытесняет составной кубик:

\[V_{ \text{вытесн.}} = \frac{F_{A}}{ \rho_{ \text{воды}} \cdot g}\]

Здесь плотность воды \[\rho_{ \text{воды}} = 1000 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\]

Определим, какой объем воды вытеснял деревянный кубик:

\[V_{0} = \frac{F_{A0}}{ \rho_{ \text{воды}} \cdot g} = \frac{m_{ \text{кубика}} \cdot g}{ \rho_{ \text{воды}} \cdot g} = \frac{m_{ \text{кубика}}}{ \rho_{ \text{воды}}} \]

Определим массу деревянного кубика:

\[m_{ \text{кубика}} = \rho_{ \text{сосны}} \cdot V = 400 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.008 \,\text{м}^3 = 3.2 \,\text{кг}\]

Определим объем вытесненной воды деревянным кубиком:

\[V_{0} = \frac{3.2 \,\text{кг}}{1000 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0.0032 \,\text{м}^3\]

Определим объем воды, вытесненной составным кубиком:

\[V = V_{0} + \Delta V = 0.0032 \,\text{м}^3 + \frac{8 \,\text{Н}}{1000 \,\frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \,\frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 0.0032 \,\text{м}^3 + 0.0008 \,\text{м}^3 = 0.004 \,\text{м}^3\]

Следовательно, увеличение модуля силы Архимеда:

\[\Delta F_{A} = 2 \,\text{Н}\]

Ответ: 2