В сосуд со смесью льда и воды доливают воду массой m₁ = 60 г. После установления теплового равновесия лёд в сосуде остаётся, но его масса уменьшается на mл = 7,6 г. Удельная теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды cв = 4200 Дж/(кг·°С). Известно, что за время проведения эксперимента растает не весь лёд, находящийся в сосуде. 1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда? 2. Какова начальная температура t долитой воды? 3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет Δmл = 0,2 г, а масса долитой воды измерялась с точностью ε = 1% (т.е. могла быть на 1% как больше, так и меньше указанного значения)? Остальные величины известны точно.

Решение:

1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда:

Для начала, переведем массу растаявшего льда из граммов в килограммы:

• \[ m_л = 7,6 \text{ г} = 7,6 \times 10^{-3} \text{ кг} \]

Теперь используем формулу для количества теплоты, необходимого для плавления:

• \[ Q = \lambda \cdot m_л \]

Подставляем значения:

• \[ Q = 330 \times 10^3 \text{ Дж/(кг)} \cdot 7,6 \times 10^{-3} \text{ кг} \]
• \[ Q = 330 \cdot 7,6 \text{ Дж} \]
• \[ Q = 2508 \text{ Дж} \]

Ответ на первый вопрос: 2508 Дж.

2. Начальная температура долитой воды:

Так как после установления теплового равновесия лёд остается, а его масса уменьшается, это означает, что растаявший лёд поглотил теплоту от долитой воды. В идеальном случае (без потерь тепла в окружающую среду), теплота, отданная водой, равна теплоте, поглощенной льдом для таяния.

Теплота, отданная водой, рассчитывается по формуле:

• \[ Q_{воды} = c_в  m_в  (t_{нач} - t_{равн}) \]

Где:

• \[ c_в = 4200 \text{ Дж/(кг}^)} \]
• \[ m_в = 60 \text{ г} = 60 imes 10^{-3} \text{ кг} \]
• \[ t_{равн} = 0^ \text{ (температура таяния льда)} \]

По условию, растаял не весь лёд, что означает, что в конце процесса в сосуде есть и вода, и лёд. Следовательно, конечная температура системы равна температуре таяния льда, то есть \[ t_{равн} = 0^ \].

Приравниваем теплоту, отданную водой, к теплоте, полученной льдом:

• \[ Q_{воды} = Q_{плавления} \]
• \[ c_в  m_в  (t_{нач} - 0) = Q \]
• \[ 4200 \text{ Дж/(кг}^)}  (60 imes 10^{-3} \text{ кг})  t_{нач} = 2508 \text{ Дж} \]
• \[ 252 \text{ Дж/} ^  t_{нач} = 2508 \text{ Дж} \]
• \[ t_{нач} = \frac{2508}{252} \text{ } ^ \]
• \[ t_{нач} ≈ 9.95 \text{ } ^ \]

Ответ на второй вопрос: Начальная температура долитой воды примерно 9.95 °C.

3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды:

Сначала определим погрешность массы долитой воды.

• Масса воды: \[ m_в = 60 \text{ г} \]
• Точность измерения: \[ \varepsilon = 1\% \]
• Абсолютная погрешность массы воды: \[ \Delta m_в = \varepsilon \cdot m_в = 0.01  60 \text{ г} = 0.6 \text{ г} \]
• Диапазон массы воды: The possible range for the mass of water is \( m_{в, min} = 60 - 0.6 = 59.4 \text{ г} \) and \( m_{в, max} = 60 + 0.6 = 60.6 \text{ г} \).

Также дана абсолютная погрешность измерения массы льда:

• \[ \Delta m_л = 0.2 \text{ г} = 0.2 imes 10^{-3} \text{ кг} \]

Это означает, что реальная масса растаявшего льда может находиться в диапазоне:

• \[ m_{л, min} = 7.6 - 0.2 = 7.4 \text{ г} = 7.4 imes 10^{-3} \text{ кг} \]
• \[ m_{л, max} = 7.6 + 0.2 = 7.8 \text{ г} = 7.8 imes 10^{-3} \text{ кг} \]

Теперь рассчитаем минимальную и максимальную возможные температуры, учитывая эти погрешности. Мы предполагаем, что теплота, отданная водой, равна теплоте, поглощенной льдом.

Случай 1: Минимальная начальная температура долитой воды.

Это произойдет, когда воды было больше (максимальная масса воды) и льда растаяло меньше (минимальная масса льда).

• \[ Q_{плавления, min} = \lambda  m_{л, min} = 330 imes 10^3 \text{ Дж/кг}  7.4 imes 10^{-3} \text{ кг} = 2442 \text{ Дж} \]
• \[ Q_{воды, max} = c_в  m_{в, max}  (t_{нач, min} - 0) \]
• \[ 2442 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж/(кг}^)}  (60.6 imes 10^{-3} \text{ кг})  t_{нач, min} \]
• \[ 2442 = 254.52  t_{нач, min} \]
• \[ t_{нач, min} = \frac{2442}{254.52} \text{ } ^ \]
• \[ t_{нач, min} ≈ 9.59 \text{ } ^ \]

Случай 2: Максимальная начальная температура долитой воды.

Это произойдет, когда воды было меньше (минимальная масса воды) и льда растаяло больше (максимальная масса льда).

• \[ Q_{плавления, max} = \lambda  m_{л, max} = 330 imes 10^3 \text{ Дж/кг}  7.8 imes 10^{-3} \text{ кг} = 2574 \text{ Дж} \]
• \[ Q_{воды, min} = c_в  m_{в, min}  (t_{нач, max} - 0) \]
• \[ 2574 \text{ Дж} = 4200 \text{ Дж/(кг}^)}  (59.4 imes 10^{-3} \text{ кг})  t_{нач, max} \]
• \[ 2574 = 249.48  t_{нач, max} \]
• \[ t_{нач, max} = \frac{2574}{249.48} \text{ } ^ \]
• \[ t_{нач, max} ≈ 10.32 \text{ } ^ \]

Ответ на третий вопрос: Диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет от 9.59 °C до 10.32 °C.