Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( m \) — масса тела, \( c_t \) — его удельная теплоёмкость, \( \rho_t \) — его плотность. Пусть \( m_w \) — масса воды, \( c_w \) — её удельная теплоёмкость, \( \rho_w \) — её плотность.
Из условия задачи:
- \( \rho_t = 2 \rho_w \)
- \( c_t = \frac{1}{2} c_w \)
При погружении одного тела:
Обмен теплом происходит между телом и водой. Тело отдаёт тепло, а вода получает. Тепловое равновесие устанавливается, когда температура тела и воды становится одинаковой.
Так как тело полностью погружено в воду, его объём равен объёму вытесненной воды. Пусть \( V \) — объём тела.
Тогда масса тела \( m = \rho_t V = 2 \rho_w V \), а масса воды, которая была в этом объёме, \( m_{w, выт} = \rho_w V \).
Изменение температуры тела: \( \Delta T_t = t_1 - t_0 = 26 - 19 = 7 \text{ °С} \).
Изменение температуры воды: \( \Delta T_w = t_1 - t_0 = 26 - 19 = 7 \text{ °С} \).
Закон сохранения энергии (теплоты): \( Q_{отдал} = Q_{получил} \).
Тепло, отданное телом: \( Q_t = c_t m (t_0 - t_1) \) (здесь \( t_0 \) — начальная температура тела, \( t_1 \) — конечная, поэтому \( t_0 - t_1 \)).
Тепло, полученное водой: \( Q_w = c_w m_{w, выт} (t_1 - t_0) \) (здесь \( t_1 \) — конечная температура, \( t_0 \) — начальная, поэтому \( t_1 - t_0 \)).
\( c_t m (t_0 - t_1) = c_w m_{w, выт} (t_1 - t_0) \)
\( \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (19 - 26) = c_w (\rho_w V) \cdot (26 - 19) \)
\( c_w \rho_w V \cdot (-7) = c_w \rho_w V \cdot 7 \)
\( -7 = 7 \)
Это неверно. Примем, что \( t_0 \) — начальная температура воды, а тело сначала тоже имеет температуру \( t_0 \).
\( Q_{тела} = c_t m (t_1 - t_0) \) (тело остывает, если \( t_1 < t_0 \), но в данном случае тело нагревает воду, значит \( t_1 > t_0 \). В условии сказано, что тело опустили в воду при \( t_0 \). Позже температура стала \( t_1 \). Это означает, что тело остыло, а вода нагрелась).
\( Q_{отдал. тело} = c_t m (t_0 - t_1) \)
\( Q.получил. вода} = c_w m_w (t_1 - t_0) \) (масса всей воды в сосуде)
\( \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (19 - 26) = c_w m_w (26 - 19) \)
\( c_w \rho_w V \cdot (-7) = c_w m_w \cdot 7 \)
\( - \rho_w V = m_w \)
Это тоже не дает результата. Вернемся к определению теплового равновесия. Температура тела и воды становится одинаковой. Тело отдало тепло воде. Значит, начальная температура тела была выше, чем конечная. В условии сказано, что тело опустили в воду при \( t_0=19 \)
Давайте переформулируем. Пусть \( T_{тела, нач} \) - начальная температура тела, \( T_{воды, нач} = t_0 = 19^{\circ}C \). Конечная температура \( T_{конечная} = t_1 = 26^{\circ}C \).
При погружении одного тела:
\( Q_{отдал. тело} = c_t m (T_{тела, нач} - t_1) \)
\( Q_{получил. вода} = c_w m_w (t_1 - t_0) \)
\( Q_{отдал. тело} + Q_{получил. вода} = 0 \)
\( c_t m (t_1 - T_{тела, нач}) + c_w m_w (t_1 - t_0) = 0 \)
\( \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (26 - T_{тела, нач}) + c_w m_w (26 - 19) = 0 \)
\( c_w \rho_w V (26 - T_{тела, нач}) + c_w m_w \cdot 7 = 0 \)
\( \rho_w V (26 - T_{тела, нач}) + 7 m_w = 0 \) (1)
Теперь рассмотрим случай с двумя телами. Пусть \( t_2 \) — конечная температура.
\( Q_{отдал. 2 тела} = 2 \cdot c_t m (t_2 - T_{тела, нач}) \)
\( Q_{получил. вода} = c_w m_w (t_2 - t_0) \)
\( 2 \cdot \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (t_2 - T_{тела, нач}) + c_w m_w (t_2 - 19) = 0 \)
\( 2 \rho_w V (t_2 - T_{тела, нач}) + m_w (t_2 - 19) = 0 \) (2)
Из (1): \( 26 \rho_w V - \rho_w V T_{тела, нач} + 7 m_w = 0 \)
\( \rho_w V T_{тела, нач} = 26 \rho_w V + 7 m_w \)
\( T_{тела, нач} = 26 + \frac{7 m_w}{\rho_w V} \)
Подставим в (2):
\( 2 \rho_w V (t_2 - (26 + \frac{7 m_w}{\rho_w V})) + m_w (t_2 - 19) = 0 \)
\( 2 \rho_w V t_2 - 2 \rho_w V \cdot 26 - 2 \rho_w V \frac{7 m_w}{\rho_w V} + m_w t_2 - 19 m_w = 0 \)
\( 2 \rho_w V t_2 - 52 \rho_w V - 14 m_w + m_w t_2 - 19 m_w = 0 \)
\( t_2 (2 \rho_w V + m_w) = 52 \rho_w V + 33 m_w \)
\( t_2 = \frac{52 \rho_w V + 33 m_w}{2 \rho_w V + m_w} \)
В задаче не дана масса воды \( m_w \) и объем тела \( V \). Однако, в условии сказано "В сосуд, наполненный до краёв водой". Это значит, что когда тело опустили, часть воды вылилась. Это очень важно.
Пусть \( V_{сос} \) — объём сосуда. Тогда \( m_w = \rho_w V_{сос} \).
При погружении первого тела, объем воды, который вылился, равен \( V \). Значит, масса вылившейся воды \( m_{w, выл} = \rho_w V \).
Масса воды, оставшейся в сосуде до установления температуры \( t_1 \): \( m_w' = m_w - m_{w, выл} = \rho_w V_{сос} - \rho_w V \).
Уравнение теплового баланса для одного тела:
\( c_t m (t_1 - T_{тела, нач}) + c_w m_w' (t_1 - t_0) = 0 \)
\( \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (26 - T_{тела, нач}) + c_w (\rho_w V_{сос} - \rho_w V) (26 - 19) = 0 \)
\( c_w \rho_w V (26 - T_{тела, нач}) + c_w \rho_w (V_{сос} - V) \cdot 7 = 0 \)
\( V (26 - T_{тела, нач}) + 7 (V_{сос} - V) = 0 \)
\( 26V - V T_{тела, нач} + 7 V_{сос} - 7V = 0 \)
\( V T_{тела, нач} = 19V + 7 V_{сос} \)
\( T_{тела, нач} = 19 + \frac{7 V_{сос}}{V} \)
При погружении двух тел:
Объем вылившейся воды: \( 2V \). Масса оставшейся воды: \( m_w'' = m_w - 2V \rho_w = \rho_w V_{сос} - 2 \rho_w V \).
Уравнение теплового баланса:
\( 2 \cdot c_t m (t_2 - T_{тела, нач}) + c_w m_w'' (t_2 - t_0) = 0 \)
\( 2 \cdot \frac{1}{2} c_w \cdot (2 \rho_w V) \cdot (t_2 - T_{тела, нач}) + c_w (\rho_w V_{сос} - 2 \rho_w V) (t_2 - 19) = 0 \)
\( 2 \rho_w V (t_2 - T_{тела, нач}) + \rho_w (V_{сос} - 2V) (t_2 - 19) = 0 \)
\( 2 V (t_2 - (19 + \frac{7 V_{сос}}{V})) + (V_{сос} - 2V) (t_2 - 19) = 0 \)
\( 2 V t_2 - 38V - 14 V_{сос} + (V_{сос} - 2V) t_2 - 19 (V_{сос} - 2V) = 0 \)
\( 2 V t_2 - 38V - 14 V_{сос} + V_{сос} t_2 - 2V t_2 - 19 V_{сос} + 38V = 0 \)
\( V_{сос} t_2 - 33 V_{сос} = 0 \)
\( V_{сос} t_2 = 33 V_{сос} \)
\( t_2 = 33 \text{ °С} \)
Проверим условие, что теплообменом с окружающей средой пренебречь.
Это решение кажется слишком простым, возможно, есть более глубокий смысл в
