В ромбе острый угол 60°, большая диагональ равна 18. Найдите периметр ромба.

Решение:

1. В ромбе острый угол равен \( 60^{\circ} \). Диагонали ромба делят его углы пополам.
2. Большая диагональ соединяет вершины тупых углов. Пусть \( d_1 \) — большая диагональ, \( d_2 \) — меньшая диагональ. По условию \( d_1 = 18 \).
3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом \( 90^{\circ} \) и делятся точкой пересечения пополам.
4. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Углы этого треугольника равны \( 90^{\circ} \), \( 60^{\circ}/2 = 30^{\circ} \) и \( 120^{\circ}/2 = 60^{\circ} \).
5. Большая диагональ \( d_1 \) противолежит углу \( 60^{\circ} \). Половина большей диагонали равна \( d_1/2 = 18/2 = 9 \).
6. В прямоугольном треугольнике против угла в \( 30^{\circ} \) лежит катет, равный половине гипотенузы. Угол, противолежащий половине большей диагонали (9), равен \( 60^{\circ} \), а угол, противолежащий половине меньшей диагонали, равен \( 30^{\circ} \).
7. Пусть \( a \) — сторона ромба (гипотенуза). По теореме синусов: \( \frac{d_1/2}{\sin(60^{\circ})} = \frac{d_2/2}{\sin(30^{\circ})} = a \).
8. Вычислим сторону ромба: \( a = \frac{d_1/2}{\sin(60^{\circ})} = \frac{9}{\sqrt{3}/2} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \).
9. Периметр ромба равен \( P = 4a \).
10. \( P = 4 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \).

Ответ: 24√3