В ромбе ABCD на продолжении диагонали AC отмечены точки T и K так, что отрезки AT и CK равны и точки T и K находятся вне ромба. Точки T и K находятся по разные стороны от точки O. Докажите, что BKDT — параллелограмм. Докажите, что треугольники ADT и BCK равны.

1. Докажем, что BKDT — параллелограмм.

В ромбе диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина диагонали BD.

Точки T и K лежат на прямой AC по разные стороны от O. Так как AT = CK и A, C находятся по разные стороны от O, равные отрезки AT и CK означают, что O также является серединой отрезка TK.

В четырёхугольнике BKDT диагонали — BD и KT. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Следовательно, BKDT — параллелограмм.

2. Докажем, что треугольники ADT и BCK равны.

В ромбе все стороны равны, поэтому AD = BC. По условию AT = CK.

Поскольку AD ∥ BC, а точки A, O, C, T, K лежат на одной прямой, углы DAT и BCK равны как углы, образованные параллельными прямыми и прямой AC.

Таким образом, в треугольниках ADT и CBK равны две стороны и угол между ними: AD = CB, AT = CK, ∠DAT = ∠BCK. Значит, треугольники ADT и CBK равны по первому признаку равенства треугольников. Это те же треугольники, что ADT и BCK; соответствие вершин: A ↔ C, D ↔ B, T ↔ K.

Ответ: BKDT — параллелограмм; треугольники ADT и BCK равны.