В равностороннем треугольнике ABC медианы AM и CN пересекаются в точке P. Найдите длину стороны AB, если PM = 2√3.

Решение:

1) Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Медианы AM и CN пересекаются в точке P. Известно, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. То есть AP:PM = 2:1 и CP:PN = 2:1. Дано, что PM = 2√3.

2) Найдем AP:

AP = 2 * PM = 2 * 2√3 = 4√3.

3) Найдем медиану AM:

AM = AP + PM = 4√3 + 2√3 = 6√3.

4) В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, где AM - высота, AB - гипотенуза, BM - катет, равный половине стороны BC. Обозначим сторону треугольника как a.

5) Тогда BM = a/2.

6) По теореме Пифагора:

AB² = AM² + BM²

a² = (6√3)² + (a/2)²

a² = 108 + a²/4

a² - a²/4 = 108

3a²/4 = 108

a² = 108 * 4/3

a² = 144

a = √144

a = 12

Следовательно, сторона AB равна 12.

Ответ: 12