В равнобедренный треугольник KMN (KM = MN) вписана окружность. Точка касания окружности и боковой стороны делит боковую сторону KM треугольника в отношении 6 : 2, считая от вершины М. Периметр треугольника равен 40 см. Найди стороны треугольника.

Решение:

Пусть \( x \) — одна часть. Тогда \( MD = ME = 6x \), \( KD = KF = 2x \), \( NE = NF = 2x \).

Так как треугольник равнобедренный \( KM = MN \), то \( KM = MD + DK = 6x + 2x = 8x \) и \( MN = ME + EN = 6x + 2x = 8x \).

Сторона \( KN = KF + FN = 2x + 2x = 4x \).

Периметр треугольника равен 40 см, составим уравнение:

\[ KM + MN + KN = 40 \]

\[ 8x + 8x + 4x = 40 \]

\[ 20x = 40 \]

\[ x = \frac{40}{20} = 2 \]

Найдем стороны треугольника:

\( KM = 8x = 8 \cdot 2 = 16 \) см.

\( MN = 8x = 8 \cdot 2 = 16 \) см.

\( KN = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

Ответ: \( KM = 16 \) см, \( MN = 16 \) см, \( KN = 8 \) см.