В равнобедренной трапеции основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 29°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Так как \( AD \) и \( BC \) — основания, то \( \angle ADC = \angle BCD = 64^{\circ} \) и \( \angle DAB = \angle CBA \).

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle DAB + \angle ADC = 180^{\circ} \).

\( \angle DAB = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) образует со стороной \( AB \) угол \( 29^{\circ} \), значит, \( \angle CAB = 29^{\circ} \).

Угол \( \angle DAB = \angle CAB + \angle CAD \).

\( 116^{\circ} = 29^{\circ} + \angle CAD \).

\( \angle CAD = 116^{\circ} - 29^{\circ} = 87^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, диагонали равны: \( AC = BD \). Также боковые стороны равны: \( AB = CD \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) и \( DCB \). Они равны по двум сторонам и углу между ними ( \( AB=CD \), \( BC=CB \), \( \angle ABC = \angle DCB = 64^{\circ} \) — ошибка, \( \angle ABC = 116^{\circ} \), \( \angle DCB = 64^{\circ} \)).

Правильное обоснование: В равнобедренной трапеции диагонали равны, \( AC = BD \). Углы при основании равны \( \angle DAB = \angle CBA = 116^{\circ} \) и \( \angle ADC = \angle BCD = 64^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DCB \). Так как \( AB = CD \), \( BC \) — общая сторона, \( \angle ABC = \angle DCB = 116^{\circ} \) — это неверно. \( \angle ABC = 116^{\circ} \), \( \angle DCB = 64^{\circ} \).

Давайте использовать свойства равнобедренной трапеции.

\( \angle DAB = 116^{\circ} \), \( \angle ADC = 64^{\circ} \).

\( \angle CAB = 29^{\circ} \).

\( \angle CAD = \angle DAB - \angle CAB = 116^{\circ} - 29^{\circ} = 87^{\circ} \).

Нам нужно найти угол между диагональю \( AC \) и меньшим основанием \( BC \). Это угол \( \angle ACB \).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. \( \angle DAB = 116^{\circ} \), \( \angle ADC = 64^{\circ} \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle CAD = \angle ACB \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).

\( \angle ACB = \angle CAD = 87^{\circ} \).

Ответ: 87°.