В равнобедренной трапеции основания равны 45 и 74, острый угол равен 60°. Найдите её периметр.

Решение:

Обозначим основания трапеции как \( a = 74 \) и \( b = 45 \). Острый угол равен \( \alpha = 60^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции боковая сторона \( c \) может быть найдена, если опустить высоту из концов меньшего основания на большее. При этом образуется прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — боковая сторона \( c \).
• Один катет — высота \( h \).
• Другой катет — половина разности оснований: \( \frac{a-b}{2} \).
• Угол при основании — \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найдем длину отрезка, который является катетом:

\[ \frac{a-b}{2} = \frac{74 - 45}{2} = \frac{29}{2} = 14.5 \]

Теперь используем тригонометрию для нахождения боковой стороны \( c \). В прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]\[ \cos(60^{\circ}) = \frac{14.5}{c} \]

Так как \( \cos(60^{\circ}) = 0.5 \), получаем:

\[ 0.5 = \frac{14.5}{c} \]

Отсюда:

\[ c = \frac{14.5}{0.5} = 29 \]

Периметр трапеции вычисляется по формуле:

\[ P = a + b + 2c \]

Подставим известные значения:

\[ P = 74 + 45 + 2 \cdot 29 \]\[ P = 119 + 58 \]\[ P = 177 \]

Ответ: 177