3. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 12 см, меньший угол равен с. Найдите периметр и площадь трапеции.

Ответ: Периметр равен 20 + \(\frac{4}{\tan(\alpha/2)}\) см, площадь равна \(20 \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})\) см²

Решение:

• Обозначим основания трапеции как \(a = 8\) см и \(b = 12\) см.
• Пусть боковая сторона трапеции равна \(c\), а высота равна \(h\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Длина этой части равна \(\frac{b - a}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2\) см.
• Выразим высоту \(h\) и боковую сторону \(c\) через угол \(\alpha\):
  • \(\tan(\alpha) = \frac{h}{2}\) => \(h = 2 \tan(\alpha)\)
  • \(\cos(\alpha) = \frac{2}{c}\) => \(c = \frac{2}{\cos(\alpha)}\)
• Однако, поскольку нам дан меньший угол \(\alpha\), прилежащий к боковой стороне, необходимо использовать половину этого угла при расчетах. Тогда:
  • \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2}{h}\) => \(h = 2 \cot(\frac{\alpha}{2})\)
  • \(\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2}{c}\) => \(c = \frac{2}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\)
• Найдем периметр трапеции:
  • \(P = a + b + 2c = 8 + 12 + 2 \cdot \frac{2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = 20 + \frac{4}{\sin(\frac{\alpha}{2})}\)
  • Также, \( \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\csc(\frac{\alpha}{2})}\). Периметр: \(20 + 4 \csc(\frac{\alpha}{2})\)
• Найдем площадь трапеции:
  • \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{8 + 12}{2} \cdot 2 \cot(\frac{\alpha}{2}) = 10 \cdot 2 \cot(\frac{\alpha}{2}) = 20 \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})\)

Ответ: Периметр равен 20 + \(\frac{4}{\tan(\alpha/2)}\) см, площадь равна \(20 \cdot \cot(\frac{\alpha}{2})\) см²