В равнобедренной трапеции AD и BC основаниями. Угол D равен 67°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 72°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому \( \angle ADC = \angle BCD = 67^{\circ} \). Также боковые стороны равны: \( AB = CD \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \). Сумма углов в \( \triangle ACD \) равна \( 180^{\circ} \). Известны \( \angle CAD \) и \( \angle ADC = 67^{\circ} \). Угол \( \angle ACD = 72^{\circ} \) дан по условию.

Найдем \( \angle CAD \): \( \angle CAD = 180^{\circ} - \angle ADC - \angle ACD = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 72^{\circ} = 41^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) образует с меньшим основанием \( BC \) угол \( \angle ACB \).

Так как трапеция равнобедренная, \( \angle BCD = 67^{\circ} \). Мы знаем, что \( \angle ACD = 72^{\circ} \).

Найдем \( \angle ACB \): \( \angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 67^{\circ} - 72^{\circ} = -5^{\circ} \).

Полученный отрицательный угол означает, что точка C находится в другом положении или данные некорректны. В стандартной конфигурации трапеции, где \( BC \) является меньшим основанием, этот результат невозможен.

Проверим условие: возможно, \( AD \) — меньшее основание, а \( BC \) — большее. В таком случае \( \angle ADC = 67^{\circ} \) и \( \angle BCD = 67^{\circ} \). Если \( \angle ACD = 72^{\circ} \), то \( \angle CAD = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 72^{\circ} = 41^{\circ} \).

Угол между диагональю \( AC \) и меньшим основанием \( AD \) будет \( \angle CAD = 41^{\circ} \).

Перечитав условие: "AD и BC основаниями", "Угол D равен 67°", "Диагональ AC образует со стороной CD угол 72°". Если \( AD \) — большее основание, то \( \angle ADC = 67^{\circ} \). Если \( BC \) — меньшее основание, то \( \angle BCD = 67^{\circ} \).

В \( \triangle ACD \): \( \angle ADC = 67^{\circ} \), \( \angle ACD = 72^{\circ} \). Тогда \( \angle CAD = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 72^{\circ} = 41^{\circ} \).

Так как \( AD \) и \( BC \) параллельны, то \( \angle CAD = \angle ACB \) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) секущей \( AC \). Следовательно, \( \angle ACB = 41^{\circ} \).

Угол между диагональю \( AC \) и меньшим основанием \( BC \) равен \( \angle ACB \).

Ответ: 41°.