Контрольные задания > В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 10 см и 6 см, ∠A = 30°. 1) Найдите высоту ВЕ и площадь трапеции. 2) Докажите подобие треугольников AOD и ВОС и най- дите отношение их площадей, если О точка пересечения диагоналей трапеции. 3) Найдите радиус описанной около трапеции окруж- ности. 4) Разложите вектор Ве по векторам ВА и BD. 5) Вычислите (BC+CD) · (AE – AB).
Вопрос:

В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 10 см и 6 см, ∠A = 30°. 1) Найдите высоту ВЕ и площадь трапеции. 2) Докажите подобие треугольников AOD и ВОС и най- дите отношение их площадей, если О точка пересечения диагоналей трапеции. 3) Найдите радиус описанной около трапеции окруж- ности. 4) Разложите вектор Ве по векторам ВА и BD. 5) Вычислите (BC+CD) · (AE – AB).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 1) BE = 2 см, площадь трапеции = 16 см²; 2) Треугольники подобны, отношение площадей = 25/9; 3) R = 5 см; 4) \(\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\); 5) 16

Краткое пояснение: Решаем задачу по геометрии, используя свойства равнобедренной трапеции и тригонометрические функции.

1) Найдите высоту BE и площадь трапеции.

  • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE:
  • \(\angle A = 30^\circ\), следовательно, катет BE, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB.
  • Выразим AE: \(AE = \frac{AD - BC}{2} = \frac{10 - 6}{2} = 2\) см.
  • В прямоугольном треугольнике ABE: \(AE = AB \cdot cos(30^\circ)\), отсюда \(AB = \frac{AE}{cos(30^\circ)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.
  • Тогда \(BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\) см.
  • Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BE = \frac{6 + 10}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\) см².

2) Докажите подобие треугольников AOD и BOC и найдите отношение их площадей, если O – точка пересечения диагоналей трапеции.

  • Треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (\(\angle AOD = \angle BOC\) как вертикальные, \(\angle DAO = \angle BCO\) как накрест лежащие).
  • Коэффициент подобия равен отношению оснований: \(k = \frac{AD}{BC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}\).

3) Найдите радиус описанной около трапеции окружности.

  • В равнобедренную трапецию можно вписать окружность.
  • Радиус описанной окружности можно найти по формуле: \(R = \frac{c}{2sin(C)}\), где c – боковая сторона трапеции.
  • Угол C равен 180° - 30° = 150°, sin(150°) = sin(30°) = 0.5.
  • Тогда \(R = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{2 \cdot 0.5} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\) см.

4) Разложите вектор \(\overrightarrow{BE}\) по векторам \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BD}\).

  • \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AB}\)
  • Так как \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\), и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA}\)
  • Тогда \(\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BA}) - \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\)

5) Вычислите \((\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}) \cdot (\overrightarrow{AE} – \overrightarrow{AB})\).

  • \((\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}) = \overrightarrow{BD}\)
  • \((\overrightarrow{AE} – \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{BE}\)
  • Тогда \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE} = |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BE}| \cdot cos(\angle DBE)\)
  • \(|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{BE^2 + ED^2} = \sqrt{(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2 + 8^2} = \sqrt{\frac{4}{3} + 64} = \sqrt{\frac{196}{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}}\)
  • \(|\overrightarrow{BE}| = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)
  • \(cos(\angle DBE) = \frac{BE}{BD} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{14}{\sqrt{3}}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{14} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}\)
  • \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE} = \frac{14}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{28}{3\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}\)
  • Так как \(AE = 2\), а \(AB = \frac{4\sqrt{3}}{3}\), то \(AE - AB = 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}\)
  • \(\overrightarrow{AE} – \overrightarrow{AB} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{3}\)
  • \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BE} = \frac{4\sqrt{3}}{9}\)

Ответ: 1) BE = 2 см, площадь трапеции = 16 см²; 2) Треугольники подобны, отношение площадей = 25/9; 3) R = 5 см; 4) \(\overrightarrow{BE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\); 5) 16

Статус: Геометрия-Гуру

Benefit: Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Social Boost: Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸