В равнобедренной трапеции ABCD основание AD = 10, BC = 3, высота равна 5. Найдите боковую сторону AB. Найти площадь трапеции.

Решение:

Дано:

ABCD — равнобедренная трапеция.

AD = 10

BC = 3

h = 5

AB = CD (боковые стороны)

AB \(\perp\) BH (BH — высота)

Найти:

AB = ?

S = ?

1. Нахождение боковой стороны AB:
• Так как трапеция равнобедренная, проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD.
• Получим прямоугольник BCKH, следовательно, HK = BC = 3.
• Отрезки AH и KD равны: \( AH = KD = \frac{AD - HK}{2} = \frac{10 - 3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора:
• \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)
• \( AB^2 = (3.5)^2 + 5^2 \)
• \( AB^2 = 12.25 + 25 \)
• \( AB^2 = 37.25 \)
• \( AB = \sqrt{37.25} \)
2. Нахождение площади трапеции:
• Формула площади трапеции: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b — основания, h — высота.
• \( S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH \)
• \( S = \frac{10 + 3}{2} \cdot 5 \)
• \( S = \frac{13}{2} \cdot 5 \)
• \( S = 6.5 \cdot 5 \)
• \( S = 32.5 \)

Ответ: Боковая сторона AB = \(\sqrt{37.25}\). Площадь трапеции S = 32.5.