В равнобедренном треугольнике и основание, и высота равны 4. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Обозначим треугольник как ABC, где AB = BC. Высота BH = 4, основание AC = 4. Точка H является серединой AC, поэтому AH = HC = 2.

Центр описанной окружности лежит на высоте BH. Обозначим центр как O. Радиус описанной окружности (R) — это расстояние от центра O до любой вершины треугольника (например, OA, OB, OC).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHO. Мы знаем AH = 2. Отрезок HO = |BH - BO| = |4 - R|. По теореме Пифагора в треугольнике AHO:

\( OA^2 = AH^2 + HO^2 \)

\( R^2 = 2^2 + (4 - R)^2 \)

\( R^2 = 4 + (16 - 8R + R^2) \)

\( R^2 = 4 + 16 - 8R + R^2 \)

\( 0 = 20 - 8R \)

\( 8R = 20 \)

\( R = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

Ответ: 2.5