1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 4 раза больше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. 2. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 3. На продолжении стороны АВ равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отметили точку D так, что AD = АС и точка А находится между точками В и D. Найдите величину угла ADC если угол АВС равен 32° 4. Сторона ВС треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что АВ = DB. Найдите величину угла BAD, если угол АСВ равен 70°, a угол ВАС равен 34°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ. 5. В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите величину угла ВСЕ, если LBAC = 46° и ∠ABC = 78°. 6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

1.

Пусть ∠A = x, тогда ∠C = 4x. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то ∠A = ∠B = x.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

x + x + 4x = 180°

6x = 180°

x = 30°

Следовательно, ∠A = ∠B = 30°, ∠C = 4 * 30° = 120°.

Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠B = 180° - 30° = 150°.

Ответ: 150°

2.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Пусть ∠A = 36°, ∠B = 73°.

Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 36° - 73° = 71°.

Ответ: 71°

3.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠BAC = ∠BCA.

Пусть ∠ABC = 32°. Тогда ∠BAC = ∠BCA = (180° - 32°) / 2 = 148° / 2 = 74°.

Так как AD = AC, то треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, следовательно, ∠ADC = ∠ACD.

∠DAC = 180° - ∠BAC = 180° - 74° = 106° (смежный угол).

∠ADC = (180° - ∠DAC) / 2 = (180° - 106°) / 2 = 74° / 2 = 37°.

Ответ: 37°

4.

Так как AB = DB, то треугольник ABD равнобедренный с основанием AD, следовательно, ∠BAD = ∠BDA.

∠ABC = 180° - ∠ACB - ∠BAC = 180° - 70° - 34° = 76°.

∠ABD = 180° - ∠ABC = 180° - 76° = 104° (смежный угол).

∠BAD = (180° - ∠ABD) / 2 = (180° - 104°) / 2 = 76° / 2 = 38°.

Ответ: 38°

5.

∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 46° - 78° = 56°.

Так как CE - биссектриса, то ∠BCE = ∠ACB / 2 = 56° / 2 = 28°.

Ответ: 28°

6.

Пусть AB = x, BM = MC = y. Тогда периметр треугольника ABC равен x + 2y = 40 см.

Периметр треугольника ABM равен x + y + AM = 32 см.

Выразим x из первого уравнения: x = 40 - 2y.

Подставим это во второе уравнение: 40 - 2y + y + AM = 32.

40 - y + AM = 32

AM = y - 8.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC. Следовательно, x = AC.

AM - медиана, поэтому BM = MC.

Из первого уравнения x + 2y = 40 выразим y: 2y = 40 - x, y = (40 - x) / 2.

Подставим это в AM = y - 8: AM = (40 - x) / 2 - 8 = (40 - x - 16) / 2 = (24 - x) / 2.

Подставим x = 40 - 2y в уравнение ABM: 40 - 2y + y + AM = 32, то есть 40 - y + AM = 32, AM = y - 8.

Так как x + 2y = 40, то x = 40 - 2y. Подставим это в уравнение ABM: x + y + AM = 32, 40 - 2y + y + AM = 32, 40 - y + AM = 32, AM = y - 8.

Выразим y: y = AM + 8. Подставим это в уравнение x + 2y = 40: x + 2(AM + 8) = 40, x + 2AM + 16 = 40, x + 2AM = 24, x = 24 - 2AM.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC = x. Следовательно, BM = MC = y.

Тогда x + 2y = 40, x + y + AM = 32. Выразим y из первого уравнения: y = (40 - x) / 2.

Подставим это во второе уравнение: x + (40 - x) / 2 + AM = 32, 2x + 40 - x + 2AM = 64, x + 2AM = 24, x = 24 - 2AM.

Так как ABM = 32, то x + y + AM = 32. Подставим x = 24 - 2AM: 24 - 2AM + y + AM = 32, 24 - AM + y = 32, y = AM + 8.

Так как ABC = 40, то x + 2y = 40. Подставим y = AM + 8: x + 2(AM + 8) = 40, x + 2AM + 16 = 40, x + 2AM = 24, x = 24 - 2AM.

Подставим x = 24 - 2AM и y = AM + 8 в уравнение x + 2y = 40: 24 - 2AM + 2(AM + 8) = 40, 24 - 2AM + 2AM + 16 = 40, 40 = 40.

Получили тождество, что не позволяет найти AM.

Пусть P(ABM) = AB + BM + AM = 32, P(ABC) = AB + BC + AC = 40. Так как AM - медиана, то BM = MC, BC = 2BM.

P(ABC) = AB + 2BM + AC = 40. P(ABM) = AB + BM + AM = 32.

Вычтем из первого уравнения второе: (AB + 2BM + AC) - (AB + BM + AM) = 40 - 32, BM + AC - AM = 8.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Тогда P(ABC) = AB + 2BM + AB = 40, 2AB + 2BM = 40, AB + BM = 20.

P(ABM) = AB + BM + AM = 32. Подставим AB + BM = 20: 20 + AM = 32, AM = 12.

Ответ: 12 см