В равнобедренном треугольнике АС=ВС=13, высота СН к основанию АВ равна 12. Найдите cosA.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) с основанием \( AB \) имеем \( AC = BC = 13 \) и высоту \( CH = 12 \).

Высота \( CH \) в равнобедренном треугольнике является также медианой, поэтому она делит основание \( AB \) пополам: \( AH = HB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \). По теореме Пифагора найдём длину катета \( AH \):

\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]

\[ AH^2 + 12^2 = 13^2 \]

\[ AH^2 + 144 = 169 \]

\[ AH^2 = 169 - 144 \]

\[ AH^2 = 25 \]

\[ AH = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдём косинус угла \( A \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \). Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos A = \frac{AH}{AC} \]

\[ \cos A = \frac{5}{13} \]

Ответ: \( \cos A = \frac{5}{13} \).