В равнобедренном треугольнике AKR серединный перпендикуляр, проведённый к стороне AK, пересекает сторону KR в точке B. Периметр треугольника ABR равен 31 см. Найди величину основания AR, если AK = 23 см.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AKR, где AK = KR. Серединный перпендикуляр к стороне AK пересекает сторону KR в точке B. Это означает, что AB перпендикулярен AK и делит AK пополам. Следовательно, AB является высотой и медианой в треугольнике AKR.

Так как AB является серединным перпендикуляром к AK, то AK = 23 см, и пусть точка пересечения AB и AK будет M. Тогда AM = MK = AK/2 = 23/2 = 11.5 см. Поскольку AB является серединным перпендикуляром, любая точка на AB равноудалена от A и K, то есть AB = KB.

Теперь рассмотрим треугольник ABR. Его периметр равен 31 см, то есть:

$$P_{ABR} = AB + BR + AR = 31$$

Так как AKR равнобедренный, то AK = KR = 23 см. Отрезок KR состоит из двух отрезков KB и BR, следовательно, KB + BR = KR = 23. Т.к. AB = KB, заменим KB на AB в данном равенстве: AB + BR = 23.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. AB + BR + AR = 31
2. AB + BR = 23

Подставим второе уравнение в первое:

$$23 + AR = 31$$

Выразим AR:

$$AR = 31 - 23$$

$$AR = 8$$

Ответ: 8