В равнобедренном треугольнике ABC величина угла при вершине B равна 68°. Определи угол между основанием AC и высотой AM, проведённой к боковой стороне.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).

3. Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), то \( 2 \angle BAC + \angle ABC = 180° \).

4. Подставим известное значение \( \angle ABC = 68° \): \( 2 \angle BAC + 68° = 180° \).

5. Решим уравнение относительно \( \angle BAC \): \( 2 \angle BAC = 180° - 68° = 112° \), значит \( \angle BAC = \frac{112°}{2} = 56° \).

6. Высота AM проведена к боковой стороне BC. Треугольник ABM — прямоугольный (\( \angle AMB = 90° \)).

7. В прямоугольном треугольнике ABM сумма острых углов равна 90°: \( \angle BAM + \angle ABM = 90° \).

8. Подставим \( \angle ABM = 68° \): \( \angle BAM + 68° = 90° \).

9. Найдём \( \angle BAM \): \( \angle BAM = 90° - 68° = 22° \).

10. Угол, который нужно определить, — это угол между основанием AC и высотой AM, то есть \( \angle MAC \).

11. \( \angle MAC = \angle BAC - \angle BAM \).

12. Подставим известные значения: \( \angle MAC = 56° - 22° = 34° \).

Ответ: 34°.