В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC биссектриса угла B пересекает боковую сторону AC в точке D. При этом оказалось, что BD = BC. Найдите величину угла (в градусах) при вершине А этого треугольника.

Решение:

Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( BC \), то \( \angle ABC = \angle ACB \).

Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \), то есть \( \alpha + 2 \angle ABC = 180° \). Отсюда \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180° - \alpha}{2} = 90° - \frac{\alpha}{2} \).

Так как \( BD \) — биссектриса \( \angle ABC \), то \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{90° - \alpha/2}{2} = 45° - \frac{\alpha}{4} \).

По условию \( BD = BC \). Это означает, что \( \triangle BDC \) равнобедренный с основанием \( CD \). Следовательно, \( \angle BDC = \angle BCD \).

\( \angle BCD = \angle ACB = 90° - \frac{\alpha}{2} \).

В \( \triangle BDC \): \( \angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180° \).

\( (45° - \frac{\alpha}{4}) + (90° - \frac{\alpha}{2}) + \angle BDC = 180° \).

\( \angle BDC = 180° - 90° - 45° + \frac{\alpha}{4} + \frac{\alpha}{2} = 45° + \frac{3\alpha}{4} \).

Так как \( \angle BDC = \angle BCD \), то \( 45° + \frac{3\alpha}{4} = 90° - \frac{\alpha}{2} \).

\( \frac{3\alpha}{4} + \frac{\alpha}{2} = 90° - 45° \).

\( \frac{3\alpha + 2\alpha}{4} = 45° \).

\( \frac{5\alpha}{4} = 45° \).

\( \alpha = \frac{45° \cdot 4}{5} = 9° \cdot 4 = 36° \).

Таким образом, \( \angle BAC = 36° \).

Проверим: \( \angle ABC = 90° - 36°/2 = 90° - 18° = 72° \).

\( \angle ACB = 72° \).

\( \angle DBC = 72°/2 = 36° \).

\( \angle BCD = 72° \).

В \( \triangle BDC \): \( \angle DBC = 36° \), \( \angle BCD = 72° \). \( \angle BDC = 180° - 36° - 72° = 180° - 108° = 72° \).

Так как \( \angle BCD = \angle BDC = 72° \), то \( \triangle BDC \) равнобедренный и \( BC = BD \), что соответствует условию.

Ответ: 36.