В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС угол В равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, А равна 8. Найдите длину стороны АС. В ответе запишите только число. Единицы измерения писать не надо.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, углом B = 120° и высотой AH = 8, проведённой из вершины A. Требуется найти длину стороны AC.

1. Проведем высоту BD к основанию AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD является и медианой, то есть AD = DC.

2. Рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD = 1/2 * угол ABC = 1/2 * 120° = 60°. Угол ADB = 90°.

3. В прямоугольном треугольнике ABD угол BAD = 180° - 90° - 60° = 30°.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHD. Угол HAD = 90° - угол BAD = 90° - 30° = 60°.

5. В прямоугольном треугольнике AHD: HD = AH * ctg(HAD) = 8 * ctg(60°) = $$8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. AD = AH + HD. HD = BD * tg(30°). BD = AD * tg(30°).

7. В прямоугольном треугольнике ABD катет AD лежит против угла 30°, следовательно, AD = 2 * AH. AD = 16

8. Тогда AC = 2 * AD = 2 * 16 = 32.

Ответ: 32