В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, А равна 5. Найдите длину стороны АС. Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Так как \( \angle B = 120^{\circ} \), то \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
2. Высота BH, проведённая к основанию AC, делит \( \angle B \) пополам: \( \angle ABH = \angle CBH = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. \( \angle BAH = 30^{\circ} \), \( \angle ABH = 60^{\circ} \), \( BH = 5 \).
4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. \( BH = \frac{1}{2} AB \), значит \( AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 5 = 10 \).
5. Также в прямоугольном треугольнике ABH: \( AH = AB \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).
6. Так как BH — высота равнобедренного треугольника, она является и медианой, поэтому \( AH = HC \).
7. Длина основания AC равна \( 2 \cdot AH = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \).

Ответ: $$10\sqrt{3}$$