В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, точка касания вписанной окружности делит сторону BC на отрезки длиной 4 и 1, считая от вершины B. Найдите периметр треугольника.

Геометрия: Равнобедренный треугольник

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
• Точка касания вписанной окружности делит сторону BC на отрезки: BP = 4, PC = 1.

Найти: периметр треугольника ABC.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC. Следовательно, стороны AB и BC равны: \( AB = BC \).
2. Сторона BC состоит из двух отрезков BP и PC: \( BC = BP + PC = 4 + 1 = 5 \) см.
3. Так как \( AB = BC \), то \( AB = 5 \) см.
4. Точка касания вписанной окружности делит стороны треугольника на отрезки, равные. Обозначим точку касания на стороне AB как M, а на стороне BC как P. Тогда AP = PC = 1 (так как точка касания делит основание AC на два равных отрезка AM и MC, и AC - основание, следовательно AB=BC. Точка касания вписанной окружности на BC делит ее на отрезки BP=4 и PC=1. Из свойства касательных, проведенных из одной точки, имеем: BP = BM = 4, PC = CK = 1. Так как AC - основание, то AB=BC, значит AB = 5. Точка касания на AB будет делить ее на отрезки AM и MB. Если PC = 1, то AM = 1. Так как BM = BP = 4, то AB = AM + MB = 1 + 4 = 5. Это соответствует BC = 5.
5. Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).
6. Нам нужно найти длину основания AC. Точка касания вписанной окружности делит основание AC на отрезки AM и MC. Мы знаем, что PC = 1, и так как AC — основание, то AM = MC.
7. Из свойства касательных, проведенных из вершины C к вписанной окружности, MC = CK. Но точка касания на BC - это P, а точка касания на AC - это K. PC = 1, значит CK = 1.
8. Таким образом, MC = 1.
9. Так как AC — основание, то AM = MC = 1.
10. Находим длину основания AC: \( AC = AM + MC = 1 + 1 = 2 \) см.
11. Теперь можем найти периметр треугольника: \( P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 + 5 + 2 = 12 \) см.

Ответ: 12