В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 6, а равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание тра равно 3√3.

Решение:

• Пусть ABCD — данная прямоугольная трапеция, где BC — меньшее основание, равное \(3\sqrt{3}\). Диагональ BD равна 6, а угол BDA равен 45°.
• Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Угол BDH равен 45°, следовательно, угол DBH также равен 45° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Это означает, что треугольник BHD — равнобедренный, и BH = HD.
• В прямоугольной трапеции высота BH равна меньшей боковой стороне AB. Таким образом, AB = BH.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. \(tg \angle BDA = \frac{AB}{AD}\). Поскольку угол BDA равен 45°, то \(tg 45° = 1\). Следовательно, \(\frac{AB}{AD} = 1\), и AB = AD.
• В равнобедренном треугольнике BHD BH=HD, \(BD^2 = BH^2 + HD^2\), отсюда \(6^2=2BH^2\), \(36 = 2BH^2\), \(BH^2 = 18\), \(BH = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
• Следовательно, AB = AD=\(3\sqrt{2}\).
• Тогда AD = BC + HD , выразим HD, HD = AD - BC = \(3\sqrt{2} - 3\sqrt{3}\).
• Но мы знаем, что BH=HD, то есть \(3\sqrt{2} = AD - 3\sqrt{3}\), что неверно, поскольку AD = \(3\sqrt{2}\).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. По теореме Пифагора \(BD^2 = BH^2 + HD^2\). Пусть BH = x, тогда HD = x. \(6^2 = x^2 + x^2\) \(36 = 2x^2\) \(x^2 = 18\) \(x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Следовательно, BH = \(3\sqrt{2}\)
• Найдем AD. Так как AD = HD + BC, то AD = \(3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\)
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Сторона CD является искомой большей боковой стороной трапеции. \(CD^2 = AC^2 + AD^2\). Поскольку AC = BH=\(3\sqrt{2}\), а AD = \(3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\), то \(CD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 = 18 + (18 + 18\sqrt{6} + 27) = 18 + 45 + 18\sqrt{6} = 63 + 18\sqrt{6}\)
• CD = \(\sqrt{63 + 18\sqrt{6}}\) = 3√7.

Ответ: Большая боковая сторона трапеции равна 3√7.