17) В прямоугольной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагональ \(BD\) равна 8, а угол \(A\) равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно \(4\sqrt{3}\). Запишите решение и ответ.

Дано: Прямоугольная трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\), \(\angle A = 45^\circ\), \(BD = 8\), \(BC = 4\sqrt{3}\). Найти: \(CD\). Решение: 1. Проведем высоту \(BH\) к основанию \(AD\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) угол \(\angle A = 45^\circ\), следовательно, \(\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Значит, треугольник \(ABH\) равнобедренный, и \(AH = BH\). 2. В прямоугольном треугольнике \(BHD\) по теореме Пифагора: \[BD^2 = BH^2 + HD^2\] 3. В прямоугольнике \(BCDH\) имеем \(BC = HD = 4\sqrt{3}\). Тогда: \[8^2 = BH^2 + (AD - AH)^2\] Т.к. \(AH = BH\), то \[8^2 = AH^2 + (AD - AH)^2\] 4. Также, заметим, что \(CD = BH\) (так как \(BCDH\) - прямоугольник). Наша цель - найти \(CD\). 5. Пусть \(CD = x\), тогда \(BH = x\), \(AH = x\). Тогда \(AD = AH + HD = x + 4\sqrt{3}\). 6. Рассмотрим треугольник \(ABD\). Используем теорему косинусов, но нам не нужен \(AD\). Вместо этого заметим, что \(CD = BH\) и треугольник \(BHD\) прямоугольный. Следовательно, \(BD^2 = DH^2 + BH^2\). \[8^2 = (4\sqrt{3})^2 + BH^2\] \[64 = 16 cdot 3 + BH^2\] \[64 = 48 + BH^2\] \[BH^2 = 16\] \[BH = 4\] 7. Так как \(CD = BH\), то \(CD = 4\). Ответ: 4