В прямоугольном треугольнике разность наибольшего и наименьшего внешних углов равна 70°. Найдите острые углы этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
2. Сумма внешних углов треугольника равна 360°.
3. Пусть острые углы треугольника равны \( \alpha \) и \( \beta \). Тогда внешние острые углы равны \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).
4. Наибольший внешний угол — это смежный с наименьшим острым углом. Наименьший внешний угол — это смежный с наибольшим острым углом.
5. Пусть \( \alpha \) — наибольший острый угол, а \( \beta \) — наименьший острый угол. Тогда внешние углы: \( 180° - \alpha \) и \( 180° - \beta \).
6. Так как \( \alpha > \beta \), то \( 180° - \alpha < 180° - \beta \).
7. Значит, наибольший внешний угол равен \( 180° - \beta \), а наименьший внешний угол равен \( 180° - \alpha \).
8. По условию задачи: \( (180° - \beta) - (180° - \alpha) = 70° \).
9. Упрощаем: \( 180° - \beta - 180° + \alpha = 70° \) → \( \alpha - \beta = 70° \).
10. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: \( \alpha + \beta = 90° \).
11. Решаем систему уравнений:

\(\begin{cases} \alpha - \beta = 70° \\ \alpha + \beta = 90° \end{cases}\)

1. Складываем уравнения: \( (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 70° + 90° \) → \( 2\alpha = 160° \) → \( \alpha = 80° \).
2. Находим \( \beta \): \( 80° + \beta = 90° \) → \( \beta = 10° \).

Ответ: Острые углы треугольника равны 80° и 10°.