594 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а противолежащий угол равен 3. а) Выразите другой катет, а противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найди- те их значения, если b = 10 см, В= 50°.

Ответ: смотри решение

а) Выражение другого катета и гипотенузы через b и β

• Пусть b - один из катетов, а β - угол, противолежащий этому катету.
• Обозначим другой катет как a, а гипотенузу как c.
• Используем тригонометрические функции:
• \[\tan(\beta) = \frac{b}{a}\]
• Отсюда выражаем a:
• \[a = \frac{b}{\tan(\beta)}\]
• Используем синус для выражения гипотенузы c:
• \[\sin(\beta) = \frac{b}{c}\]
• Отсюда выражаем c:
• \[c = \frac{b}{\sin(\beta)}\]

б) Нахождение значений, если b = 10 см, β = 50°

• Подставляем данные значения в полученные формулы:
• \[a = \frac{10}{\tan(50^{\circ})}\]
• \[c = \frac{10}{\sin(50^{\circ})}\]
• Вычисляем значения:
• \[a \approx \frac{10}{1.1918} \approx 8.39 \text{ см}\]
• \[c \approx \frac{10}{0.7660} \approx 13.05 \text{ см}\]

Ответ: a ≈ 8.39 см, c ≈ 13.05 см