В прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см меньше гипотенузы, а другой — на 25 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу. Ответ дайте в сантиметрах.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. 1. **Обозначение переменных:** Пусть $$c$$ - длина гипотенузы прямоугольного треугольника (в см). Тогда длины катетов будут: * $$a = c - 2$$ (см) - один катет * $$b = c - 25$$ (см) - другой катет 2. **Применение теоремы Пифагора:** В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (теорема Пифагора): $$a^2 + b^2 = c^2$$ Подставляем наши выражения для $$a$$ и $$b$$: $$(c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2$$ 3. **Раскрытие скобок и упрощение уравнения:** Раскрываем скобки, используя формулу $$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$$: $$(c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 50c + 625) = c^2$$ Приводим подобные слагаемые: $$2c^2 - 54c + 629 = c^2$$ Переносим все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$c^2 - 54c + 629 = 0$$ 4. **Решение квадратного уравнения:** Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае $$a = 1$$, $$b = -54$$, $$c = 629$$. Найдем дискриминант $$D$$: $$D = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 cdot 1 cdot 629 = 2916 - 2516 = 400$$ Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два действительных корня: $$c_1 = \frac{54 + \sqrt{400}}{2} = \frac{54 + 20}{2} = \frac{74}{2} = 37$$ $$c_2 = \frac{54 - \sqrt{400}}{2} = \frac{54 - 20}{2} = \frac{34}{2} = 17$$ 5. **Проверка корней и выбор подходящего решения:** Проверим полученные значения для $$c$$: * Если $$c = 37$$, то $$a = 37 - 2 = 35$$ и $$b = 37 - 25 = 12$$. Все стороны треугольника имеют положительную длину, поэтому это решение подходит. * Если $$c = 17$$, то $$b = 17 - 25 = -8$$. Длина катета не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит. 6. **Ответ:** Следовательно, гипотенуза равна **37 см**. Ответ: **37**