Контрольные задания > В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом при вершине М проведена биссектриса KQ. Точка Р стороны KL принадлежит продолжению высоты MN треугольника KMQ. Периметр треугольника KMP равен 60, а длина отрезка KN равна 19. Найдите два равных прямоугольных треугольника и определите периметр треугольника KMN.
Вопрос:

В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом при вершине М проведена биссектриса KQ. Точка Р стороны KL принадлежит продолжению высоты MN треугольника KMQ. Периметр треугольника KMP равен 60, а длина отрезка KN равна 19. Найдите два равных прямоугольных треугольника и определите периметр треугольника KMN.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Сначала определим два равных треугольника, затем найдем периметр треугольника KMN, используя свойства биссектрисы и известные значения.

Равные треугольники

  • Треугольники KMN и KQN равны.
  • Обоснование:
    • KQ - биссектриса угла K (по условию).
    • ∠KNM = ∠KNQ = 90° (так как MN - высота).
    • KN - общая сторона.
  • Следовательно, ΔKMN = ΔKQN по гипотенузе и острому углу.

Определение периметра треугольника KMN

  • Так как ΔKMN = ΔKQN, то MN = NQ и KM = KQ.
  • Периметр треугольника KMP равен KM + MP + KP = 60.
  • MP = MQ + QP.
  • Так как MN является продолжением высоты и MN = NQ, то NQ + QP = NP.
  • Тогда периметр KMP = KM + MQ + QP + KP = KM + NP + KP = 60.
Подробные вычисления периметра KMN
  • Заметим, что периметр треугольника KMN равен KM + MN + KN.
  • Нам известно, что KN = 19.
  • Также известно, что периметр KMP = 60.
  • Выразим KM через известные значения: KM = 60 - NP - KP.
  • Подставим это выражение в периметр KMN: (60 - NP - KP) + MN + 19.
  • Учитывая, что NP = NQ + QP и MN = NQ, получаем: 60 - NP - KP + NQ + 19 = 79 - KP - QP.
  • Заметим, что периметр треугольника KMN равен KM + MN + KN.
  • Так как ΔKMN = ΔKQN, то MN = NQ и KM = KQ.
  • NP = NQ + QP, и следовательно, MN = NQ.
  • KM + MN + KN = KQ + NQ + KN.
  • KM + MP + KP = 60, то есть KQ + QP + KP = 60.
  • Если KP + QP = KN, то KN = 19.
  • Периметр KMN = KM + MN + KN = 60 - (KP + MP) + KN = 60 - KN + KN (так как MP = MQ + QP).
  • Таким образом, периметр KMN = 60 + KN = 60 + 19.
  • Следовательно, периметр треугольника KMN равен KM + MN + KN = 60 - 19 + 19.

Ответ: 79

ГДЗ по фото 📸