2. В прямоугольном треугольнике катет равен 6, а проекция этого катета на гипотенузу равна 3. Найдите гипотенузу, второй катет и его проекцию на гипотенузу.

Ответ: Гипотенуза равна 12, второй катет равен \(6\sqrt{3}\), проекция второго катета на гипотенузу равна 9.

Решение:

1. Шаг 1: Найдем гипотенузу.

   Пусть \(a\) — данный катет, \(a_c\) — его проекция на гипотенузу, а \(c\) — гипотенуза. Тогда:

   \[ a^2 = a_c \cdot c \]

   Подставляем известные значения:

   \[ 6^2 = 3 \cdot c \] \[ 36 = 3c \] \[ c = \frac{36}{3} = 12 \]

   Гипотенуза равна 12.

2. Шаг 2: Найдем второй катет.

   Пусть \(b\) — второй катет. По теореме Пифагора:

   \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 6^2 + b^2 = 12^2 \] \[ 36 + b^2 = 144 \] \[ b^2 = 144 - 36 = 108 \] \[ b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \]

   Второй катет равен \(6\sqrt{3}\).

3. Шаг 3: Найдем проекцию второго катета на гипотенузу.

   Пусть \(b_c\) — проекция второго катета на гипотенузу. Тогда:

   \[ b^2 = b_c \cdot c \] \[ (6\sqrt{3})^2 = b_c \cdot 12 \] \[ 36 \cdot 3 = 12 b_c \] \[ 108 = 12 b_c \] \[ b_c = \frac{108}{12} = 9 \]

   Проекция второго катета на гипотенузу равна 9.

Ответ: Гипотенуза равна 12, второй катет равен \(6\sqrt{3}\), проекция второго катета на гипотенузу равна 9.