В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 60°, равен 3√3 см. Найдите две другие стороны этого треугольника и его площадь.

В прямоугольном треугольнике против угла 60° лежит катет, равный $$3\sqrt{3}$$ см. Пусть этот катет будет b. Тогда:

$$b = 3\sqrt{3}$$ см

Угол, противолежащий этому катету, равен 60°. Другой угол (не прямой) равен 30°, так как сумма углов в треугольнике равна 180° (90° + 60° + 30° = 180°).

Обозначим катет, прилежащий к углу 60°, через a, а гипотенузу через c.

Мы знаем, что:

$$\tan(60^\circ) = \frac{b}{a}$$

$$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$$

Поэтому:

$$\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{a}$$

$$a = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см}$$

Теперь найдем гипотенузу c, используя синус угла 60°:

$$\sin(60^\circ) = \frac{b}{c}$$

$$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{c}$$

$$c = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6 \text{ см}$$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$$

Ответ: \( a = 3 \text{ см} \), \( c = 6 \text{ см} \), \( S = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \)