23. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 74, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике с острым углом 45° второй острый угол также равен 45° (90° - 45° = 45°). Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Пусть катеты равны a, а гипотенуза равна c = 74. По теореме Пифагора, $$a^2 + a^2 = c^2$$.

$$2a^2 = 74^2$$

$$2a^2 = 5476$$

$$a^2 = 2738$$

$$a = \sqrt{2738}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 2738 = 1369$$

Ответ: 1369