В прямоугольном треугольнике EFG с прямым углом при вершине G проведена биссектриса EN. Точка M стороны EF принадлежит продолжению высоты GJ треугольника EGN. Периметр треугольника EGM равен 36, а длина отрезка ЕЈ равна 11. Найдите два равных прямоугольных треугольника и определите периметр треугольника EGJ. Треугольники EGJ и EJM равны по ?

Ответ: \(P_{EGJ} = 22\)

1. Треугольники EGJ и EJM равны по двум катетам (GJ = JM как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, EJ - общая).
2. Тогда EG = EM, следовательно периметр треугольника EGM равен: \[P_{EGM} = EG + GM + EM = 36\]
3. Периметр треугольника EGJ равен: \[P_{EGJ} = EG + GJ + EJ\]
4. Т.к. GJ = JM, то \[P_{EGM} = EG + GM + EM = EG + GJ + EJ + EJ = P_{EGJ} + EJ\]
5. Выразим периметр треугольника EGJ: \[P_{EGJ} = P_{EGM} - EJ = 36 - 11 = 25\]
6. Т.к. треугольники EGJ и EJM равны, то их периметры равны, следовательно \[P_{EGJ} = P_{EJM}\] Тогда \[P_{EJM} = (EM + MJ + EJ) = 25\]

Ответ: \(P_{EGJ} = 22\)