9. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите периметр этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Биссектриса угла C делит гипотенузу AB на отрезки AD = 20 см и BD = 15 см. Пусть AC = b, BC = a. Тогда AB = AD + DB = 20 + 15 = 35 см. По свойству биссектрисы треугольника, rac{AC}{BC} = rac{AD}{BD}, т.е. rac{b}{a} = rac{20}{15} = rac{4}{3}. Отсюда, b = rac{4}{3}a. По теореме Пифагора для треугольника ABC: a^2 + b^2 = AB^2, т.е. a^2 + (rac{4}{3}a)^2 = 35^2. a^2 + rac{16}{9}a^2 = 1225 rac{25}{9}a^2 = 1225 a^2 = rac{1225 cdot 9}{25} = 49 cdot 9 = 441 a = sqrt{441} = 21 см b = rac{4}{3} cdot 21 = 4 cdot 7 = 28 см Периметр треугольника ABC: P = a + b + AB = 21 + 28 + 35 = 84 см. Ответ: Периметр треугольника равен 84 см. **Объяснение для школьника:** В этой задаче мы использовали свойство биссектрисы угла в треугольнике, которое говорит, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Затем мы использовали теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, чтобы найти катеты, и наконец, сложили все стороны, чтобы получить периметр.