В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит один из катетов на отрезки 8 см и 10 см. Найдите длину гипотенузы треугольника (в см).

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть биссектриса угла A делит катет BC на отрезки BD = 8 см и DC = 10 см. Тогда катет BC = BD + DC = 8 + 10 = 18 см.

По свойству биссектрисы в треугольнике, отношение отрезков, на которые она делит противолежащую сторону, равно отношению прилежащих сторон:

\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{8}{10} = \frac{c}{b} \), где \( c \) — гипотенуза (AB), \( b \) — катет AC.

Отсюда \( c = \frac{10}{8} b = \frac{5}{4} b \).

По теореме Пифагора для треугольника ABC:

\( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( a = BC = 18 \) см.

Подставим \( c = \frac{5}{4} b \) и \( a = 18 \) в теорему Пифагора:

\( (\frac{5}{4} b)^2 = 18^2 + b^2 \)

\( \frac{25}{16} b^2 = 324 + b^2 \)

\( \frac{25}{16} b^2 - b^2 = 324 \)

\( \frac{25 - 16}{16} b^2 = 324 \)

\( \frac{9}{16} b^2 = 324 \)

\( b^2 = 324 \cdot \frac{16}{9} \)

\( b^2 = 36 \cdot 16 \)

\( b = \sqrt{36 \cdot 16} = 6 \cdot 4 = 24 \) см.

Теперь найдём гипотенузу \( c \):

\( c = \frac{5}{4} b = \frac{5}{4} \cdot 24 = 5 \cdot 6 = 30 \) см.

Ответ: 30 см.