В прямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла пересекает гипотенузу под углом 70°. Найдите острые углы данного треугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть CD — биссектриса наибольшего угла C. Наибольший угол в прямоугольном треугольнике — прямой, \( \angle C = 90^{\circ} \).

Биссектриса CD делит угол C пополам: \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

По условию, биссектриса пересекает гипотенузу под углом 70°. Это означает, что угол между биссектрисой и гипотенузой равен 70°. Пусть точка пересечения биссектрисы с гипотенузой AB — точка D. Тогда \( \angle CDB = 70^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник CDB. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( \angle CBD + \angle BCD + \angle CDB = 180^{\circ} \)

\( \angle CBD + 45^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle CBD = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 70^{\circ} = 65^{\circ} \).

\( \angle CBD \) — это один из острых углов треугольника ABC, то есть \( \angle B = 65^{\circ} \).

Так как \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \) (сумма острых углов прямоугольного треугольника), то:

\( \angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \).

Проверим условие: наибольший угол — \( \angle C = 90^{\circ} \), его биссектриса CD. Если \( \angle A = 25^{\circ} \) и \( \angle B = 65^{\circ} \), то \( \angle CDB = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 45^{\circ} = 70^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: 25° и 65°.